Vekstfaktor og prosentvis endring

a) Vekstfaktoren blir $1+\frac{10}{100}=1,10$.

b) Vekstfaktoren blir $1+\frac{50}{100}=1,50$.

c) Vekstfaktoren blir $1+\frac{27,5}{100}=1,275$.

d) Vekstfaktoren blir $1+\frac{72}{100}=1,72$.

e) Vekstfaktoren blir $1+\frac{1,53}{100}=1,0153$.

f) Vekstfaktoren blir $1+\frac{0,6}{100}=1,006$.

a) Vekstfaktoren blir $1-\frac{10}{100}=0,90$.

b) Vekstfaktoren blir $1-\frac{50}{100}=0,50$.

c) Vekstfaktoren blir $1-\frac{27,5}{100}=0,725$.

d) Vekstfaktoren blir $1-\frac{7,2}{100}=0,928$.

e) Vekstfaktoren blir $1-\frac{1,53}{100}=0,9847$.

f) Vekstfaktoren blir $1-\frac{0,6}{100}=0,994$.

Vekstfaktoren tilsvarer en

a) økning på 50 %
b) økning på 35 %
c) reduksjon på 25 %
d) økning på 5 %
e) reduksjon på 4 %
f) økning på 145 %

Vekstfaktoren blir $1+\frac{25}{100}=1,25$.

Ny pris på varen blir $500 \mathrm{kr}·1,25=625 \mathrm{kr}$.

Vekstfaktoren blir $1-\frac{25}{100}=0,75$.

Ny pris på varen blir $500 \mathrm{kr}·0,75=375 \mathrm{kr}$.

Emilie prøver først å regne ut hva 25 prosent tilsvarer. Hun prøver å gå "veien om 1" ved å dele 375 kroner på 100. Da forutsetter hun at 375 kroner tilsvarer 100 prosent, noe det ikke gjør. De 375 kronene tilsvarer det som er igjen etter at det er trukket fra 25 prosent, det vil si 75 prosent. Det er den opprinnelige prisen som tilsvarer 100 prosent.

Emilie skulle derfor ha delt på 75 i stedet for 100 i den første utregningen. Et annet alternativ er å dele tilbudsprisen med vekstfaktoren for å regne seg tilbake til opprinnelig pris:

$$ \frac{375 \mathrm{kr}}{0,75}=500 \mathrm{kr}$$

Dette stemmer med det vi fant i oppgave a).

En økning på 12 prosent gir vekstfaktoren 1,12.

Et avslag på 20 prosent gir vekstfaktoren 0,80.

Den nye prisen på varen blir

$1 500 \mathrm{kr}·1,12·0,80=1 344 \mathrm{kr}$

Vi må finne vekstfaktoren for den totale endringen.

Vekstfaktoren – alternativ 1

Vi regner ut vekstfaktoren ved å dele den nye verdien på den opprinnelige verdien.

$$ \frac{1 344 \mathrm{kr}}{1 500 \mathrm{kr}}=0,896$$

Vekstfaktoren – alternativ 2

Hvis vi multipliserer sammen de to vekstfaktorene i oppgave a), vil vi få ett tall som vil være vekstfaktor for prisendringen fra 1 500 kroner til 1 344 kroner.

$$ 1,12·0,8=0,896$$

Merk at med alternativ 2 trenger vi ikke kjenne prisene for å regne ut den totale prosentvise endringen.

Når vekstfaktoren er 0,896, er det totalt sett en prosentvis nedgang. Vi kan finne prosenten ved å løse likningen

$$ 0,896 = 1-\frac{p}{100}$$

Vi kan løse likningen med manuell regning. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra, får vi

Totalt sett har prisen på varen blitt redusert med 10,4 prosent.

I linje 2 i CAS har vi skrevet $1 og trykket på knappen $$ \boxed{{\approx }_{}^{}}$$ for å få resultatet i første linje skrevet som et desimaltall.

Vi kan ikke regne direkte med prosentene fordi de ikke regnes av samme tall. De 20 prosentene i prisreduksjon regnes ikke av den opprinnelige prisen.

Et avslag på 12 prosent gir vekstfaktoren 0,88.

En prisøkning på 20 prosent gir vekstfaktoren 1,20.

Den nye prisen på varen blir

$1 500 \mathrm{kr} ·0,88·1,20=1 584 \mathrm{kr}$

Vekstfaktoren for hele endringen er $\frac{1 584 \mathrm{kr}}{1 500 \mathrm{kr}}=1,056$.

I stedet for å finne prosenten ved å løse likning kan vi regne manuelt slik: $$ 1,056-1=0,056$$. Dette er desimaltallet som tilsvarer prosenten for prisoppgangen. Prosenten er derfor $$ 0,056·100 \%=5,6 \%$$.

Prisøkningen er på 5,6 prosent.

Alternativt kan vi regne ut den totale vekstfaktoren som produktet av de to vekstfaktorene.

$0,88·1,20=1,056$

Vi kan ikke regne direkte med prosentene fordi de ikke regnes av samme tall. De 20 prosentene i prisøkning regnes ikke av den opprinnelige prisen.

Et avslag på 10 prosent gir vekstfaktoren 0,90.

Et avslag på 5 prosent gir vekstfaktoren 0,95.

Den nye prisen på varen blir

$900 \mathrm{kr}·0,90·0,95=769,50 \mathrm{kr}$.

Vekstfaktoren for hele endringen er $$ \frac{769,50 \mathrm{kr}}{900 \mathrm{kr}}=0,855$$.

I stedet for å finne prosenten ved å løse likning, kan vi regne manuelt slik:

$$ 1-0,855=0,145$$

Dette er desimaltallet som tilsvarer prosenten for prisnedsettelsen. Prosenten er derfor $$ 0,145·100 \%=14,5 \%$$.

Prisen er i alt satt ned med 14,5 prosent.

Alternativt kan vi regne ut den totale vekstfaktoren av produktet av de to vekstfaktorene.

$0,90·0,95=0,855$

Vi kan løse oppgaven uten å finne prisen etter at genseren kom på salg. Med CAS i GeoGebra kan det se slik ut.

Kan du forklare hva som er gjort på hver linje?

På linje 1 er forholdet mellom prisen etter den første endringen og den opprinnelige prisen regnet ut. Dette gir vekstfaktoren for den første endringen.

På linje 2 er vekstfaktoren for den første endringen multiplisert med vekstfaktoren for den andre endringen for å finne vekstfaktoren for den totale endringen.

På linje 3 løser vi en likning for å finne vekstfaktoren.

Totalt sett har prisen på genseren gått ned med 10 prosent (fra den opprinnelige prisen på 800 kroner).

Når et tall dobler seg, øker det med like mye som seg selv, det vil si 100 prosent.

En dobling betyr at vi multipliserer med 2. Dette må derfor også være vekstfaktoren. Vi kontrollerer svaret ved å bruke formelen for vekstfaktoren:

$$ 1+\frac{100}{100}=1+1=2$$

En halvering må bety at tallet multipliseres med $$ \frac{1}{2}$$, som da blir vekstfaktoren.

Vi kan sette opp en likning ut ifra formelen for vekstfaktoren.

$$ \begin{array}{rcl}1+\frac{p}{100} & =& 8\\ \frac{p}{100} & =& 7\\ p & =& 700\end{array}$$

Tallet blir 700 prosent større.

Vekstfaktoren blir

$$ 1+\frac{600}{100}=1+6=7$$

Dette så du kanskje uten å måtte regne det ut ved å sammenlikne med oppgave d)?