Oppgaver og aktiviteter

Eksponentiell vekst

Her kan du arbeide med oppgaver om eksponentiell vekst. I slike oppgaver er vekstfaktoren viktig.

PS-30

Adam setter 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 prosent per år.

a) Hvor mye har han i banken dersom pengene står urørt i 10 år og renta er uforandret disse årene?

Løsning

Vekstfaktoren for en økning på 2,0 prosent er

$1 + \frac{2}{100} = 1 + 0, 02 = 1, 02$

Beløpet på 5 000 skal multipliseres med vekstfaktoren 10 ganger. Med CAS får vi

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 5000 multiplisert med 1,02 opphøyd i 10. Svaret med tilnærming er 6094,97. Skjermutklipp.

Etter 10 år og når pengene har stått urørt på kontoen med den samme renta, har han 6 094,97 kroner i banken.

b) Hvor lenge må pengene stå i banken før det står 5 500 kroner på kontoen?

Løsning

Vi kan sette opp følgende likning der $x$ er antall år pengene må stå i banken:

$5 000 \cdot 1, 02^{x} = 5 500$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 5000 ganger 1,02 opphøyd i x er lik 5500. Svaret med N Løs er x er lik 4,81. Skjermutklipp.

Pengene må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

PS-31

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 prosent hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby.

a) Hva vil innbyggertallet i Småby være om 5 år dersom veksten er på 1,5 prosent hele tida?

Løsning

Vekstfaktoren er $1 + \frac{1, 5}{100} = 1, 015$ .

Innbyggertallet på 15 000 skal multipliseres med vekstfaktoren 5 ganger. Med CAS får vi

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 13000 multiplisert med 1,015 opphøyd i 5. Svaret med tilnærming er 14004,69. Skjermutklipp.

Om 5 år vil innbyggertallet være cirka 14 000.

b) Hvor mange år går det før innbyggertallet når 15 000 dersom den årlige prosentvise veksten fortsetter å være 1,5 prosent?

Løsning

Vi kan sette opp følgende eksponentiallikning der $x$ betyr antall år det tar før innbyggertallet er 13 000:

$13 000 \cdot 1, 015^{x} = 15 000$

Likningen løser vi med CAS i GeoGebra.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 13000 multiplisert med 1,02. Svaret med N Løs er x er lik 9,611. Skjermutklipp.

Innbyggertallet vil være 15 000 om cirka 9,5 år.

Merk: Her har vi endret antall desimaler i GeoGebra til 3 ved å gå til "Innstillinger" i hovedmenyen i GeoGebra øverst til høyre. Vi må ikke gjøre det, men GeoGebra runder av vekstfaktoren vi har skrevet inn, til 1,02 i CAS-feltet når antall desimaler er satt til 2. Heldigvis regner GeoGebra med 1,015, så det har ikke noe å si for løsningen på likningen.

c) Hva måtte den årlige veksten ha vært for at innbyggertallet skulle ha økt til 15 000 i løpet av 5 år?

Tips til oppgaven

Her er vekstfaktoren ukjent.

Løsning

Her skal innbyggertallet på 13 000 multipliseres med en ukjent vekstfaktor $x$ 5 ganger, og svaret skal bli 15 000. Dette gir likningen

$13 000 \cdot x^{5} = 15 000$

Etterpå må vi finne prosenten fra vekstfaktoren. Med CAS i GeoGebra får vi

CAS-vinduet i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrevet 13000 multiplisert med x opphøyd i 5 er lik 15000. Svaret med "N Løs" er x er lik 1,029. På linje 2 er det skrevet 1 pluss p delt på 100 er lik 1,029. Svaret med "N Løs" er p er lik 2,9. Skjermutklipp.

Den årlige veksten må være på 2,9 prosent for at innbyggertallet skal nå 15 000 i løpet av 5 år.

d) Fram til i dag har befolkningsveksten i Småby vært på 2,4 prosent i gjennomsnitt hvert år de 10 forrige årene.

Hva var innbyggertallet i Småby for 10 år siden?

Løsning

Vekstfaktoren for denne endringen er 1,024. Når vi går 10 år tilbake i tid, betyr det at vi må dele på vekstfaktoren 10 ganger.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 13000 delt på 1,024 opphøyd i 10. Svaret med tilnærming er 10255,192. Skjermutklipp.

Innbyggertallet i Småby for 10 år siden var cirka 10 250.

Alternativt kan vi regne ut svaret ved å multiplisere med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som er $- 10$ siden vi går bakover i tid:

$13 000 \cdot 1, 024^{- 10}$

PS-32

En bil kostet 600 000 da den var ny. Etter 5 år ble den solgt for 400 000.

a) Hva var det gjennomsnittlige årlige verditapet i prosent?

Løsning

Den ukjente vekstfaktoren $x$ skal multipliseres 5 ganger med nybilprisen, og svaret skal bli 400 000. Dette gir oss en likning som vi løser med CAS. Til slutt finner vi prosenten.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. På linje 1 er det skrevet 600000 multiplisert med x i femte er lik 400000. Svaret med N Løs er x er lik 0,922. På linje 2 er det skrevet 1 minus p delt på 100 er lik 0,922. Svaret med N Løs er p er lik 7,8. Skjermutklipp.

Det årlige verditapet var 7,8 prosent i gjennomsnitt.

b) Hva ville det årlige prosentvise verditapet ha vært dersom prisen hadde blitt halvert i løpet av 5 år?

Løsning

Dette blir den samme typen likning som i den forrige oppgaven, bare at nå skal verdien ned til halvparten, som er 300 000 kroner.

CAS-vinduet i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrevet 600000 multiplisert med x i femte er lik 300000. Svaret med N Løs er x er lik 0,871. På linje 2 er det skrevet 1 minus p delt på 100 er lik 0,871. Svaret med N Løs er p er lik 12,9. Skjermutklipp.

Det årlige verditapet er 12,9 prosent i gjennomsnitt dersom prisen blir halvert på 5 år.

c) Vis at det årlige prosentvise verditapet er det samme som i oppgave b) uansett hvor mye bilen kostet som ny så lenge prisen halveres i løpet av 5 år.

Løsning

Vi setter nybilprisen lik $b$ . Da er halvparten av nybilprisen $\frac{b}{2}$ . Vi får likningen

$\begin{array}{rcl} b \cdot x^{5} & = & \frac{b}{2} \\ x^{5} & = & \frac{1}{2} \end{array}$

Vi ser at resultatet er uavhengig av nybilprisen.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står x i femte er lik en halv. Svaret med N Løs er x er lik 0,871. Skjermutklipp.

Vi får den samme vekstfaktoren som i den forrige oppgaven og dermed den samme prosenten.

PS-33

I begynnelsen av mars 2020 oppdaget myndighetene i Norge de første tilfellene av personer smittet med koronaviruset. Myndighetene visste at hvis ikke tiltak ble satt inn for å hindre spredning av viruset, ville i gjennomsnitt hver koronapasient smitte cirka 2,4 andre personer i løpet av de omtrent 5 dagene man regnet med at pasienten var smitteførende. Dette betyr at det såkalte R-tallet (reproduksjonstallet) er 2,4.

a) Hva er vekstfaktoren for denne økningen, og hvor mange prosent økning tilsvarer dette?

Løsning

I løpet av 5 dager øker antall nye smittede med en faktor på 2,4. Dette blir derfor det samme som vekstfaktoren.

Vi finner prosenten med CAS.

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 1 pluss p delt på 100 er lik 2,4. Svaret med N Løs er p er lik 140. Skjermutklipp.

Økningen i antall smittede i løpet av 5 dager er på 140 prosent.

b) Vi tenker oss en smittekjede som starter med én person. Hvor mange nye personer vil bli smittet i perioden 20–25 dager etter at den første personen ble smitteførende dersom veksten i antall nye smittede er uforandret?

Løsning

Perioden 20–25 dager etter at den første personen ble smitteførende, tilsvarer den 5. smitterunden. Det betyr at antall nye smittede har økt med en faktor på $2, 4^{5}$ . Antall nye smittede i denne perioden blir derfor

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 1 multiplisert med 2,4 opphøyd i 5. Svaret med tilnærming er 79,626. Skjermutklipp.

I perioden 20–25 dager etter at den første personen ble smitteførende, ble cirka 80 personer smittet.

c) Hvor mange nye blir smittet etter to måneder om dette fortsetter?

Løsning

Hvis vi regner at to måneder er 60 dager, blir antall perioder $\frac{60}{5} = 12$ .

CAS-vinduet i GeoGebra, ei linje. Det står 1 multiplisert med 2,4 opphøyd i 12. Svaret med tilnærming er 36520,347. Skjermutklipp.

Etter to måneder er antall nye smittede cirka 36 500.

d) Hvor mange måneder tar det før antall nye smittede passerer 1 000 000?

Løsning

Vi lar $x$ stå for antall perioder med vekst og kan sette opp en likning som vi kan løse med CAS. Vi multipliserer svaret med 5 for å få antall dager og deler på 30 for å få antall måneder.

CAS-vinduet i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrevet 1 multiplisert med 2,4 opphøyd i x er lik 1000000. Svaret med N Løs er x er lik 15,781. På linje 2 er det skrevet 16 multiplisert med 5 delt på 30. Svaret med tilnærming er 2,667. Skjermutklipp.

Antall nye smittede passerer 1 million litt over halvveis i den tredje måneden etter at den første personen ble smitteførende.

e) Vekstfaktoren på 2,4 gjelder for en periode på 5 dager. Vi ønsker oss en formel for antall nye smittede der $x$ betyr antall dager etter at den første personen ble smitteførende.

Finn ut hva den daglige prosentvise økningen i antall nye smittede er, og lag en slik formel.

Løsning

Her må vi finne vekstfaktoren for én dag når vekstfaktoren for 5 dager er 2,4. Det betyr at vekstfaktoren for én dag skal multipliseres med seg selv 5 ganger, og at resultatet skal bli 2,4. Hvis vi kaller den ukjente vekstfaktoren for én dag $x$ , vil dette gi oss likningen $x^{5} = 2, 4$ .

CAS-vinduet i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrevet x i femte er lik 2,4. Svaret med N Løs er x er lik 1,191. På linje 2 er det skrevet 1 pluss p delt på 100 er lik 1,191. Svaret med N Løs er p er lik 19,1. Skjermutklipp.

Fra én dag til den neste øker antall smittede med 19,1 prosent. En formel for antall smittede etter $x$ dager er

$1, 191^{x}$

f) Så langt har vi hele tida sett på antall nye smittede. Det totale antallet smittede etter $x$ perioder vil være en sum av alle de nye smittede fra hver periode fram til og med periode $x$ . Finn en måte som man kan bruke til å anslå hvor lang tid det tar før hele Norges befolkning er smittet dersom den prosentvise veksten i antall nye smittede er den samme hele tida.

Løsning

Vi vet at antallet nye smittede øker med mer enn det dobbelte etter en periode på 5 dager. Men vi vet ikke om antallet nye smittede er mer enn dobbelt så stort som det totale antallet som er eller har vært smittet fra før.

Vi setter Norges befolkning til 5 millioner. Vi kan i alle fall si at når antall nye smittede passerer 5 millioner, er hele befolkningen smittet. Dette gir oss likningen

$1 \cdot 2, 4^{x} = 5 000 000$

CAS-vinduet i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 er det skrevet 2,4 opphøyd i x er lik 5000000. Svaret med Løs er x er lik et komplisert uttrykk som vi forenkler på neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 17,619. På linje 3 er det skrevet 2,4 opphøyd i 17. Svaret med tilnærming er 2907977,95. Skjermutklipp.

GeoGebra klarte ikke å løse likningen med "NLøs", så vi brukte "Løs" og lagde en tilnærming til svaret i linje 2. Resultatet betyr at etter den 18. perioden vil det i teorien være over 5 millioner nye smittede. I linje 3 sjekker vi derfor hvor mange nye smittede det blir etter den 17. femdagersperioden, og det er godt over halvparten av Norges befolkning. Da vil omtrent alle være smittet i løpet av 17 femdagersperioder. Dette er 105 dager, eller cirka tre og en halv måned.

CC BY-SASkrevet av Bjarne Skurdal, Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist faglig oppdatert 23.05.2022

Eksponentiell vekst

PS-30

PS-31

PS-32

PS-33

Regler for bruk