Ulikheter av andre grad
Gitt ulikheten
Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side.
Vi bruker så for eksempel abc-formelen og finner nullpunktene til uttrykket .
Vi vet nå at uttrykket er lik 0 når og når .
Det er bare for disse -verdiene at uttrykket kan skifte fortegn.
Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle -verdier i hvert av de tre intervallene og . For å avgjøre om uttrykket er positivt eller negativt i hvert av intervallene, kan vi ta "stikkprøver" for en -verdi i hvert intervall.
Vi vet at uttrykket kan faktoriseres slik at . Det er lettest å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
For får vi
. Uttrykket er positivt.
For får vi
. Uttrykket er negativt.
For får vi
. Uttrykket er positivt.
Det er ikke nødvendig å regne ut verdien i parentesene. Det som betyr noe, er fortegnene på parentesuttrykkene.
Utfordring!
Ser du at det egentlig er tilstrekkelig å regne ut kun én verdi? Kan du si hvorfor det er riktig?
For å få en oversikt over situasjonen, kan vi sette opp et såkalt fortegnsskjema. Det består av en tallinje som viser -verdiene, og en fortegnslinje som viser fortegnet til uttrykket i de aktuelle intervallene. Heltrukket linje markerer at uttrykket er positivt i dette tallintervallet, og stiplet linje markerer at uttrykket er negativt. En "" viser at uttrykket er lik null for denne -verdien.
Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at . Det er det samme som å finne ut når . Ut fra fortegnslinjen er det nå lett å se løsningen på oppgaven.
Løsningen på oppgaven er at må ligge mellom og . Dette kan vi skrive som et intervall slik:
Skrivemåten betyr "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet fra 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som en dobbel ulikhet:
Den doble ulikheten sier at x skal være større enn 1 og samtidig mindre enn 4.
Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen . Da vil det se ut som vist nedenfor.
Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.
Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()".