Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.
1.10.10
Løs ulikhetene.
a)
vis fasit
Denne ulikheten er ferdig ordna. Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side:
Vi vet nå at uttrykket er lik 0 når og når . Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene , og ⟨6,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-4x-12<0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈⟨−2,6⟩.
Løsning med CAS:
b) x-4x2>0
vis fasit
Vi finner først nullpunktene:
x-4x2=0x(1-4x)=0x=0∨1-4x=0x1=0∨x2=14
Vi vet nå at uttrykket x-4x² er lik 0 når x=0 og når x=¼. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,0⟩,⟨0,14⟩ og ⟨14,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x-4x²>0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈⟨0,14⟩.
Løsning med CAS:
c) 2x2+5x-3≥0
vis fasit
Vi finner først nullpunktene:
2x2+5x-3=0x=-5±52-4·2·-32·2x=-5±74x1=-3∨x2=12
Vi vet nå at uttrykket 2x²+5x-3 er lik 0 når x=-3 og når x=½. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-3⟩,〈-3,½〉, og 〈12,→〉.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at 2x²+5x-3≥0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈⟨←,-3]∪[12,→⟩.
Løsning med CAS:
d) -x2-x+6≤0
vis fasit
Vi finner først nullpunktene:
-x2-x+6=0x=1±-12-4·-3·62·-1x=1±5-2x1=-3∨x2=2
Vi vet nå at uttrykket x²-x-6 er lik 0 når x=-3 og når x=2. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-3⟩,⟨-3,2⟩ og 〈2,→〉.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-x-6≤0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈〈←,-3]∪[2,→〉.
Løsning med CAS:
e) -3x2+27>0
vis fasit
Vi faktoriserer først uttrykket
-3x2+27=-3x2-9=-3(x-3)(x+3)
Vi vet nå at uttrykket -3x²+27 er lik 0 når x=-3 og når x=3. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-3⟩,⟨-3,3⟩ og 〈3,→〉.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at -3x²+27>0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈⟨-3,3⟩.
Løsning med CAS:
1.10.11
Løs ulikhetene.
a) x2-8x+15≤0
vis fasit
Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.
x2-8x+15=0x=8±64-4·1·152·1x=8±22x1=3∨x2=5
Vi vet nå at uttrykket x²-8x+15 er lik 0 når x=3 og når x=5. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,3⟩,⟨3,5⟩ og 〈5,→〉.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-8x+15≤0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈[3,5].
Løsning med CAS:
b) 1>x2
vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
1>x2-x2+1>0
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
-x2+1=0-x2=-1x2=1x=-1∨x=1
Vi vet nå at uttrykket -x²+1 er lik 0 når x=-1 og når x=1. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,-1⟩,⟨-1,1⟩ og <1,→>.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at -x²+1>0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈⟨-1,1⟩.
Løsning med CAS:
c) -x≤-x2+6
vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
-x≤-x2+6x2-x-6≤0
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
x2-x-6=0x=--1±-12-4·1·-6=1±1+242x1=-2∨x2=3
Vi vet nå at uttrykket x²-x-6 er lik 0 når x=-2 og når x=3. Det er bare for disse verdiene av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene 〈←,-2〉,〈-2,3〉 og 〈3,→〉.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-x-6≤0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen x∈[-2,3].
Løsning med CAS:
d) 1-2x≥-x2
vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
1-2x≥-x2x2-2x+1≥0
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
x2-2x+1=0x=2±4-42x1=x2=1
Vi vet nå at uttrykket x²+2x+1 er lik 0 når x=1. Det er bare for denne verdien av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for x-verdier i intervallene ⟨←,1⟩ og ⟨1,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
Det er bare for denne verdien av x at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøve for x-verdi mindre enn 1 og x-verdi større enn 1.
Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x²-2x+1≥0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten er oppfylt for alle verdier av x.
Vi kunne også sett dette direkte da x²-2x+1=(x-1)². Dette uttrykket aldri kan bli negativt.
Løsning: x∈ℝ
Løsning med CAS:
Merk måten GeoGebra skriver løsningen på her.
e) 2x+3≥x2+5
vis fasit
Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.
-x2+2x-2≥0
Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.
-x2+2x-2=0x=-2±4-8-2
Likningen har ingen reelle løsninger. Uttrykket kan ikke ha verdien 0. Det betyr at uttrykket enten er negativt hele tiden, eller positivt hele tiden. Hvis vi setter inn x=0, har uttrykket verdien -2. Med andre ord, uttrykket -x2+2x-2 vil være negativt for alle verdier av x.
Ulikheten spør etter når uttrykket er større eller lik 0. Det er det aldri, så ulikheten har ingen løsning.
Løsning med CAS:
1.10.12
Forklar hvorfor ulikhetene ikke har noen løsning.
a) 1-x2>1
vis fasit
x² kan aldri bli negativ. Uttrykket 1-x² blir dermed aldri større enn 1.