Forventningsverdi

Tidligere har vi sett på forsøk med kast av én terning. Dette forsøket har følgende utfallsrom:

$$ U=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$$

Vi skal kjøre en simulering hvor vi kaster terningen mange ganger, og se på hva gjennomsnittsverdien til terningkastene blir. Vi velger å lage et program hvor vi bruker den innebygde generatoren fra numpy til å plukke ut et tilfeldig tall i intervallet $$ [1,7\rangle $$.

1from numpy.random import default_rng         # importerer default_rng
2rng = default_rng()                          # lager en rng (random number generator)
3
4N = 10                                       # velger antall forsøk
5tabell = [0,0,0,0,0,0]                       # lager ei liste for antall av hvert resultat
6
7for i in range(N):
8    terning = (rng.integers(1,7))            # kaster terningen tilfeldig
9    tabell[terning - 1] = tabell[terning - 1] + 1        # legger terningkastet inn i tabellen
10
11gjennomsnitt = (tabell[0]*1+tabell[1]*2+tabell[2]*3+tabell[3]*4+tabell[4]*5+tabell[5]*6)/N
12print(f"Gjennomsnittet er {gjennomsnitt:.2f}.")
13print(tabell)

Kjør programmet 10 ganger, før du øker N til 100, 1 000 og 10 000 og gjentar prosessen. Hva skjer med gjennomsnittsverdien?

De store talls lov forteller oss at hvis vi gjennomfører et forsøk mange nok ganger, vil den relative frekvensen nærme seg den egentlige sannsynligheten. Det betyr at hvis vi kaster terningen mange nok ganger, vil vi i følge de store talls lov få en slik fordeling:

Sannsynlighetsfordelingen til kast med en regulær terning er derfor uniform med $$ p=\frac{1}{6}$$ for alle utfallene. Vi lar nå den stokastiske variabelen $$ X$$ stå for antall øyne terningen viser etter et kast. Tabellen over blir da sannsynlighetsfordelingen til $$ X$$. Siden fordelingen er uniform, kan vi finne gjennomsnittet til $$ X$$ i det lange løp ved å summere de mulige verdiene $$ X$$ kan ha, og dele på antall verdier:

$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$

Denne gjennomsnittsverdien kaller vi for forventningsverdien, $$ E\left(X\right)$$, i sannsynlighetsfordelingen. Noen ganger bruker vi også den greske bokstaven $$ \mu $$ (som uttales "my") for å beskrive forventningsverdien. Vi legger merke til at vi aldri kan få denne gjennomsnittsverdien hvis vi kaster en terning, det vil si at gjennomsnittsverdien ikke er en del av utfallsrommet. Men denne verdien er likevel forventningsverdien til et kast med én terning.

Utregningen av gjennomsnittet i det lange løp kan vi skrive om slik:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6} & =& 3,5\\ \frac{1}{6}·1+\frac{1}{6}·2+\frac{1}{6}·3+\frac{1}{6}·4+\frac{1}{6}·5+\frac{1}{6}·6 & =& 3,5\end{array}$$

Her kjenner vi igjen sannsynligheten, $$ p$$, for hvert utfall ($$ \frac{1}{6}$$) og hvert av de seks utfallene.

Vi kan generalisere dette slik:

La $$ X$$ være en stokastisk variabel som kan ha verdiene $$ x_1, x_2, ... ,x_n$$. Da defineres forventningsverdien til $$ X$$ som

$$ \begin{array}{rcl}\mu & =& E\left(X\right)\\ & =& x_1·P(X=x_1)+x_2·P(X=x_2)+...+x_n·P(X=x_n)\\ & =& \sum _{i=1}^n{x}_i·P(X=x_i)\end{array}$$

I et lotteri fordeler gevinstene seg i følge denne sannsynlighetsfordelingen:

Den stokastiske variabelen $$ X$$ her blir gevinsten i antall kroner. Vi bruker formelen og finner forventningsverdien:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(X\right) & =& \sum _{i=1}^n{x}_i·P(X=x_i)\\ & =& 0,70·0+0,15·30+0,05·50+0,04·100+0,01·1 000\\ & =& 0+4,5+2,5+4+10\\ & =& 21\end{array}$$

Dette betyr at hvis du kjøper $$ n$$ lodd i dette lotteriet, kan du forvente å vinne $$ 21n \mathrm{kr}$$. Det er viktig å merke seg at dette er forventet gevinst, du kan også risikere å ikke vinne noe eller å vinne mye mer. Slike utregninger kan brukes for å undersøke hvor stor inntekt en organisasjon kan forvente å ha på et lotteri.