Her kan du jobbe med oppgaver om aritmetiske og geometriske rekker.
1.1.30
På teorisiden utledet vi formelen for summen av de første leddene i ei aritmetisk rekke ved å se på S5, og skrev: "Resonnementet ovenfor gjelder om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5."
Utled formelen for Sndirekte, uten å sette inn et bestemt tall.
Løsning
Vi skriver summen av rekka på to måter:
Sn=a1+a2+...+an-1+anSn=an+an-1+...+a2+a1
Vi legger sammen de to venstresidene og de to høyresidene:
k·Sn-Sn=a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1+a1·kn-(a1+a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1)=a1·k+a1·k2+...+a1·kn-2+a1·kn-1+a1·kn-a1-a1·k-a1·k2-...-a1·kn-2-a1·kn-1Dette gir videre
k·Sn-Sn=a1·kn-a1sn(k-1)=a1(kn-1)Sn=a1·kn-1k-1
1.1.32
Vi har gitt ei aritmetisk rekke der a1=1 og d=6.
a) Finn en eksplisitt formel for an.
Løsning
Vi bruker den generelle formelen for an i ei aritmetisk rekke:
an=a1+d(n-1)=1+6(n-1)=1+6n-6=6n-5
b) Finn summen av de 100 første leddene ved hjelp av CAS.
Løsning
c) Finn et uttrykk for summen av de n første leddene i rekka.
Løsning
Vi løser for hånd:
Sn=n·a1+an2=n·1+6n-52=n·6n-42=n·(3n-2)=3n2-2n
Vi kan også bruke GeoGebra:
d) Finn summen av de 100 første leddene i rekka ved hjelp av uttrykket du fant i c), uten bruk av digitale hjelpemidler.
Løsning
Vi setter inn 100 for n:
S100=3·1002-2·100=3·10000-200=30000-200=29800
1.1.33
Vi har gitt rekka 2+4+8+...
a) Forklar at dette er ei geometrisk rekke.
Løsning
Vi har at hvert ledd er dobbelt så stort som det forrige, altså er an=an-1·2. Det betyr at vi har ei geometrisk rekke der a1=2 og k=2.
b) Finn en eksplisitt formel for ledd nummer n i rekka.
Løsning
an=a1·kn-1=2·2n-1=2n
c) Undersøk om tallene 128 og 192 er ledd i rekka.
Løsning
Vi må undersøke om vi får heltallig n dersom vi setter formelen for an lik 128 og 192. Siden an=2n, må vi undersøke om tallene er en toerpotens:
Vi må ha hele, positive løsninger, så dermed er n=6 når summen er 78.
I CAS:
I Python:
e) Modifiser programmet du lagde i d). Bruk det til å finne ut om tallene 79, 97, 171, 779, 997, 1 711, 7 799 og 9 870 er ledd i rekka, og hvilke nummer i rekka de i så fall er. Her kan det være lurt å først tenke nøye gjennom hva du må endre og legge til i programmet før du begynner å programmere.
Løsning
Vi har her valgt å bygge videre på det programmet vi har lagd som legger alle leddene i rekka inn i ei liste Så sjekker vi om våre tall ligger i den lista. Vi skal både undersøke om tallet er et ledd i rekka, og i så fall hvilket nummer det er. Vi legger tallene vi skal sjekke, i ei egen liste. Først finner vi alle tallene som er ledd i rekka, og skriver ut dem, så skriver vi ut de tallene som ikke er ledd i rekka.
Husk at dette er én måte å gjøre det på. Gjorde du det på en annen måte? Hvis det virket, er det supert! Man kan for eksempel velge å undersøke om den eksplisitte formelen for an gir heltallige n.
f) Utvid programmet og bruk det til å finne ut om Sn kan være lik 79, 97, 171, 779, 997, 1711, 7799 og 9870, og finn ut hvor mange ledd du i så fall må ha i rekka for å få disse summene.
Løsning
Her utvider vi programmet fra den forrige oppgaven og lager ei egen liste med summene. Så undersøker vi dem på samme måte.
Igjen: Gjorde du det på en annen måte? Kanskje mer effektivt? Så bra!
1.1.38
Ei geometrisk rekke er gitt ved a1=6 og k=3.
a) Lag et program som skriver ut de 50 første leddene og summene i rekka.
Løsning
Vi må først finne den eksplisitte formelen for rekka:
an=a1·kn-1=6·3n-1
Så kan vi lage følgende program:
Koden i linje 15 er for å få fine kolonner. Du kan velge å erstatte linjene 14 og 15 med print(Leddene) og print(Summene) hvis du ikke trenger en pen utskrift.
b) Modifiser programmet slik at en bruker kan undersøke om et gitt tall kan være et ledd i rekka eller en sum av rekka.
Løsning
Her må vi først hente inn tallet brukeren vil undersøke. Så må vi gå gjennom listene våre, sjekke om tallet er i noen av dem og skrive ut resultatet.
1.1.39
I ei rekke er a5=8 og a8=64.
a) Forklar at denne rekka kan være både aritmetisk og geometrisk.
Løsning
Når vi bare kjenner to ledd i rekka, vet vi ikke nok om mønsteret til å si sikkert hva slags rekke vi har med å gjøre.
Det kan være ei aritmetisk rekke, da finner vi differansen slik:
a8=a5+3d64=8+3d56=3dd=563
Eller det kan være en geometrisk følge, da finner vi kvotienten slik:
a8=a5·k364=8·k3k=6483=2
b) Finn en eksplisitt formel for an i begge tilfeller.