Konvergens og divergens i uendelige geometriske rekker

Vi finner $$ k$$:

$$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1}=\frac{1}{3}$$

Siden vi har at $$ -1<\frac{1}{3}<1$$, vet vi at rekka konvergerer. Vi finner summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ & =& \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ & =& \frac{3}{2}\end{array}$$

Vi leser her ut av formelen at $$ k=0,5$$. Vi har at $$ -1<0,5<1$$, så dermed har vi ei konvergerende rekke. Vi finner summen:

$$ $ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{3}{1-{\displaystyle 0,5}}\\ & =& \frac{3}{{\displaystyle 0,5}}\\ & =& 6\\ & & \end{array}$$$

Her leser vi ut fra formelen at $$ k=3$$. Vi har at $$ k>1$$, altså har vi ei divergerende rekke. Vi kan ikke finne noen sum av den uendelige rekka.

Vi observerer at dette er den samme rekka som i b), altså konvergerer den, og summen er 6.

Vi har her ei geometrisk rekke med $$ a_1=1$$ og $$ k=\frac{1}{3}$$.

Dette er den samme rekka som i a), og summen er dermed $$ \frac{3}{2}$$.

Vi skriver om uttrykket for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\\ & =& \frac{1}{3}·{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\end{array}$$

Vi ser at vi har ei geometrisk rekke med $$ a_1=\frac{1}{3}$$ og $$ k=\frac{1}{3}$$.

Vi har at $$ -1<\frac{1}{3}<1$$, så rekka konvergerer.

Vi finner summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

Her kan vi også legge merke til at dette er det samme som rekka i e) multiplisert med $$ \frac{1}{3}$$:

$$ \begin{array}{rcl}$ \sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ & =& $ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3}·{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$\\ & =& \frac{1}{3}$ \sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$\\ & =& \frac{1}{3}·\frac{3}{2}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

Vi finner $$ k$$:

$$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$$

Vi har at $$ -1<-\frac{1}{3}<1$$, så rekka konvergerer. Vi finner summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{3}{1-\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}\\ & =& \frac{3}{{\displaystyle \frac{4}{3}}}\\ & =& \frac{9}{4}\end{array}$$

Vi skriver om uttrykket for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& {\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-2}\\ & =& {\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}·{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\\ & =& {\left(5^{-1}\right)}^{-1}·{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\\ & =& 5·{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\end{array}$$

Vi har dermed at $$ -1<k<1$$, og vi kan finne summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{5}{1-{\displaystyle \frac{1}{5}}}\\ & =& \frac{5}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}\\ & =& \frac{25}{4}\end{array}$$

Vi finner først $$ k$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{x}{1}=x$$

Vi må ha at $$ -1<k<1$$. Det betyr at konvergensområdet for rekka er $$ -1<x<1$$.

Summen av rekka blir da

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-x}\end{array}$$

Vi finner først $$ k$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-x^2}{x}=-x$$

Dette gir det samme konvergensområdet som i a), altså $$ -1<x<1$$. Vi finner summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{x}{1-(-x)}\\ & =& \frac{x}{1+x}\end{array}$$

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{{\displaystyle \frac{4}{x}}}{2}=\frac{2}{x}$$

Vi må løse dobbeltulikheten

$$ -1<\frac{2}{x}<1$$

Vi deler dobbeltulikheten i to og løser de to enkle ulikhetene hver for seg.

$$\begin{gathered} $ \begin{array}{rclcccccrcl}-1& <& \frac{2}{x}& & & & & & \frac{2}{x}& <& 1\\ 0& <& \frac{2}{x}+1& & & & & & \frac{2}{x}-1& <& 0\\ 0& <& \frac{2+x}{x} & & & & & & \frac{2-x}{x}& <& 0\end{array} \\ $ \end{gathered}$$

Venstre ulikhet:

Vi har to kritiske punkter, $$ x=-2$$ og $$ x=0$$. Vi undersøker hvor ulikheten er oppfylt, ved å teste for $$ x=-3, x=-1$$ og $$ x=1$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2+(-3)}{-3} & =& \frac{-1}{-3}>0\\ \frac{2+(-1)}{-1} & =& \frac{1}{-1}<0\\ \frac{2+1}{1} & =& \frac{3}{1}>0\end{array}$$

Vi har at venstre ulikhet har løsningen

$$ $ x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨0, \to ⟩$$$

Høyre ulikhet:

Vi har to kritiske punkter, $$ x=2$$ og $$ x=0$$. Vi undersøker for $$ x=-1$$, $$ x=1$$ og $$ x=3$$:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2-(-1)}{-1} & =& \frac{3}{-1}<0\\ \frac{2-1}{1} & =& \frac{1}{1}>0\\ \frac{2-3}{3} & =& \frac{-1}{3}<0\end{array}$$

Vi har at høyre ulikhet har løsningen

$$ $ x\in ⟨\leftarrow , 0⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$$

Vi må finne det området som oppfyller begge ulikhetene samtidig. Vi tegner en figur for å få oversikt:

Dette gir oss konvergensområdet:

$$ $ x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$$

Vi finner et uttrykk for summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{2}{1-\frac{2}{x}}\\ & =& \frac{2x}{x-2}\end{array}$$

I GeoGebra kan vi løse hele denne oppgaven med noen få tastetrykk:

Vi starter med å finne $$ k$$. Her kan vi lese den ut av formelen, vi har at $$ k=(2+x)$$.

Vi løser dobbeltulikheten:

$$ \begin{array}{ccccc}-1& <& 2+x& <& 1\\ -1-2& <& 2+x-2& <& 1-2\\ -3& <& x& <& -1\end{array}$$

Vi har altså at $$ -3<x<-1$$ er konvergensområdet til rekka. Vi kan også skrive det slik: $$ $ x\in ⟨-3, -1⟩$$$.

Vi leser ut av formelen at $$ a_1 = 1$$ og finner summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-(2+x)}\\ & =& \frac{1}{-1-x}\\ & =& -\frac{1}{1+x}\end{array}$$

Vi leser ut av formelen at $$ k=1-x$$ og løser dobbeltulikheten:

$$ $ \begin{array}{ccccc}-1& <& 1-x& <& 1\\ -1-1& <& 1-x-1& <& 1-1\\ -2& <& -x& <& 0\end{array}$$$

Vi deler opp i to ulikheter:

$$ \begin{array}{ccccccc}-2& <& -x& & -x& <& 0\\ 2& >& x& & x& >& 0\end{array}$$

Vi har at konvergensområdet er $$ $ x\in ⟨0, 2⟩$$$.

For å finne $$ a_1$$ setter vi inn $$ n=1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_1 & =& (1-x{)}^1=1-x\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{1-x}{1-(1-x)}\\ & =& \frac{1-x}{x}\end{array}$$

For hånd:

Vi setter formelen vi fant for summen lik 1:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{1-x} & =& 1\\ 1 & =& 1-x\\ x & =& 0\end{array}$$

Vi ser at vi får summen lik 1 dersom vi setter $$ x=0$$.

Vi gjør det samme med 4:

$$ $ \begin{array}{rcl}\frac{1}{1-x} & =& 4\\ 1 & =& 4( 1-x)\\ 1 & =& 4-4x\\ 4x & =& 3\\ x & =& \frac{3}{4}\\ & & \end{array}$$$

Vi ser at vi får summen lik 4 dersom vi setter $$ x=\frac{3}{4}$$.

Når det gjelder løsning i CAS, kan vi enten bruke formelen for summen vi fant i 1.1.41 slik vi gjorde for hånd, eller vi kan bruke den eksplisitte formelen for $$ a_n$$. Vi viser begge variantene her:

For hånd:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x}{1+x} & =& 1\\ x & =& 1+x\\ 0x & =& 1\end{array}$$

Her ser vi at vi ikke har noen løsning på likningen, altså kan ikke summen bli 1.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x}{1+x} & =& 4\\ x & =& 4(1+x)\\ x & =& 4+4x\\ 3x & =& -4\\ x & =& \hspace{0.17em}-\frac{4}{3}\end{array}$$

Her finner vi en løsning på likningen, men vi ser at den ligger utenfor konvergensområdet, og derfor kan summen heller ikke bli 4.

Vi løser i CAS, her viser vi bare løsningen med summeformel:

Legg merke til at GeoGebra gir deg et svar på likningen selv om denne summen ikke finnes! Antageligvis finner GeoGebra formelen for summen først, slik vi har gjort, og løser likningen med den uten å kunne ta med seg konvergensintervallet.

I resten av disse oppgavene viser vi kun løsning for hånd. Se på de to foregående oppgavene hvis du ikke husker hvordan du skal løse i CAS.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2x}{x-2} & =& 1\\ 2x & =& x-2\\ x & =& -2\end{array}$$

Vi ser at $$ x=-2$$ er utenfor konvergensintervallet, og summen kan ikke bli 1.

$$ $ \begin{array}{rcl}\frac{2x}{x-2} & =& 4\\ 2x & =& 4(x-2)\\ 2x & =& 4x-8\\ 2x & =& 8\\ x & =& 4\\ & & \end{array}$$$

Denne løsningen er innenfor konvergensintervallet. Det betyr at summen $$ S = 4$$ når $$ x = 4$$.

$$ \begin{array}{rcl}-\frac{1}{1+x} & =& 1\\ -1 & =& 1+x\\ x & =& -2\end{array}$$

Denne løsningen er innenfor konvergensintervallet, så summen blir 1 når $$ x=-2$$.

$$ \begin{array}{rcl}-\frac{1}{1+x} & =& 4\\ -1 & =& 4(1+x)\\ -1 & =& 4+4x\\ 4x & =& -5\\ x & =& \hspace{0.17em}\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}\end{array}$$

Denne løsningen er også innenfor konvergensintervallet, så summen blir 4 når $$ x=-\frac{5}{4}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1-x}{x} & =& 1\\ 1-x & =& x\\ 2x & =& \hspace{0.17em}1\\ x & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1-x}{x} & =& 4\\ 1-x & =& 4x\\ 5x & =& \hspace{0.17em}1\\ x & =& \hspace{0.17em}\frac{1}{5}\end{array}$$

Vi ser at begge løsningene ligger innenfor konvergensområdet, og vi har at $$ S=1$$ når $$ x= \frac{1}{2}$$ og $$ S=4$$ når $$ x=\frac{1}{5}$$.

Vi har at summen av rekka er gitt ved $$ S\left(x\right)=\frac{1}{1-x}$$, og at konvergensområdet er $$ $ -1<x<1$$$. Vi må finne eventuelle topp- og bunnpunkter innenfor konvergensområdet til rekka.

Vi deriverer funksjonen i CAS:

Vi legger merke til at den deriverte alltid er positiv. Det vil si at funksjonen er strengt voksende i hele konvergensintervallet. Vi kan ikke finne en bestemt høyeste verdi og laveste verdi fordi summen ikke er definert i ytterpunktene i intervallet, men vi kan finne grenseverdiene til summen.

Den laveste verdien finner vi ved å la $$ x\to -1^{+}$$:

$$ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }S\left(x\right)=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$$

Den høyeste verdien finner vi ved å la $$ $ x\to 1^{-}$$$:

$$ $ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{0}$$$

Vi ser at vi får 0 i nevneren, men ikke i telleren. Det vil si at uttrykket ikke har noen grenseverdi, men vil gå mot uendelig.

Vi ser at nedre grenseverdi for summen av rekka er $$ \frac{1}{2}$$, mens summen ikke har noen øvre grenseverdi.

Det kan være lurt (men ikke nødvendig!) å kikke på grafen til funksjonen for å få bedre oversikt:

Vi ser at det vi fant ved regning, stemmer bra med bildet av grafen.

Vi har at summen er gitt ved $$ S\left(x\right)=\frac{2x}{x-2}$$, og at konvergensområdet er gitt ved $$ $ $ x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$$$.

Igjen starter vi med å derivere for å undersøke monotoniegenskapene til funksjonen:

Vi legger merke til at den deriverte er negativ i hele konvergensområdet, det vil si at vi må lete etter den høyeste verdien der $$ x\to -\infty $$ og der $$ x\to 2^{+}$$. Den laveste verdien kan vi finne enten der $$ x\to -2^{-}$$ eller der $$ x\to \infty $$.

Vi finner disse grenseverdiene:

$$ \begin{array}{ccc}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x}{x-2}& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 2x}}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle x}}{x}-\frac{{\displaystyle 2}}{x}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}\\ & =& 2\end{array} $$

$$ $ \begin{array}{ccc}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x}{x-2}& =& \frac{2·2}{2-2}\\ & =& \frac{4}{0}\end{array} $$$

$$ $ \begin{array}{ccc}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-2}& =& \frac{2·(-2)}{-2-2}\\ & =& \frac{-4}{-4}\\ & =& 1\end{array} $$$

Vi har altså at den nedre grenseverdien til summen av rekka er 1, og det eksisterer ikke en øvre grenseverdi. Vi legger også merke til at summen ikke kan bli 2.

Et tips er også her å tegne grafen hvis du vil ha bedre oversikt.