Annuitetslån og nåverdier

Vi skriver opp de fem første ledda og multipliserer med $$ \frac{1}{1,{05}^5}$$:

$$ \begin{array}{rcl}& & \left(x+x·1,05+x·1,{05}^2+x·1,{05}^3+x·1,{04}^4\right)·\frac{1}{1,{05}^5}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& =& \frac{x}{1,{05}^5}+\frac{x}{1,{05}^4}+\frac{x}{1,{05}^3}+\frac{x}{1,{05}^2}+\frac{x}{1,{05}^1}\end{array}$$

Vi legger merke til at dette er akkurat de samme uttrykkene som de fem første ledda i rekka gitt ved $$ $ a_n=\frac{x}{1,{05}^n}$$$.

Vi gjør det samme som i a), men med hele rekka:

$$ \frac{1}{1,{05}^n}·$ \sum _{n=1}^{n}x·1,{05}^{n-1}$ = $$

$$ \frac{1}{1,{05}^n}\left(x+x·1,05+...+x·1,{05}^{n-2}+x·1,{05}^{n-1}\right)=$$

$$ \frac{x}{1,{05}^n}+\frac{x}{1,{05}^{n-1}}+...+\frac{x}{1,{05}^2}+\frac{x}{1,{05}^1}=$$

$$ \sum _{n=1}^n\frac{x}{1,{05}^n}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ $ \sum _{n=1}^{10}x·1,{05}^{n-1} $$& =& 200 000·1,{05}^{10}\\ \frac{1}{1,{05}^{10}}·\sum _{n=1}^{10}x·1,{05}^{n-1} & =& \frac{1}{1,{05}^{10}}·200 000·1,{05}^{10}\\ \sum _{n=1}^{10}\frac{x}{1,{05}^n} & =& 200 000\end{array}$$

Vi ser at vi får den likningen vi brukte for å sammenlikne nåverdier.

Husk at lånet har 2 prosent rente per måned, og ikke per år.

Vi får en vekstfaktor på 1,02, og siden renta skal legges på hver måned, har vi 24 perioder:

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{Lånebeløp} & =& \hspace{0.17em}60 000 ·1,{02}^{24} \\ & =& 96 506,2\\ & \approx & 96 506\end{array}$$

Lånebeløpet vokser til mer enn 96 500 kroner dersom vi ikke betaler ned på lånet.

Tenk først gjennom om du vil sammenlikne nåverdier eller framtidige verdier.

Siden vi allerede har regnet ut verdien av lånebeløpet om 2 år, velger vi å sammenlikne framtidige verdier. Da vet vi at det siste beløpet vi betaler inn, kan sammenliknes direkte med verdien til lånebeløpet om 2 år, mens vi må tenke oss at det første beløpet vi har satt inn, forrenter seg parallelt med lånebeløpet i 23 måneder. Det gir at summen av de fremskrevne verdiene av lånebeløpet er gitt ved

$$ \sum _{n=1}^{24}x·1,{02}^{n-1}$$

Vi setter dette uttrykket lik summen vi fant i a) og løser likningen i GeoGebra:

Vi ser at terminbeløpet blir cirka 3 172 kroner.

Det er 24 terminbeløp:

$$ 3 172,27·24=76 134,48$$

Du må betale tilbake mer enn 76 000 kroner totalt.

Å kjøpe på avbetaling blir det samme som å ta opp et annuitetslån. Vi velger nå å sammenlikne nåverdier. Det betyr at vi får følgende rekke:

$$ \frac{x}{1,{06}^1}+\frac{x}{1,{06}^2}+\frac{x}{1,{06}^3}+\frac{x}{1,{06}^4}+\frac{x}{1,{06}^5}$$

Dette betyr at $$ a_1=\frac{x}{1,06}$$, $$ k=\frac{1}{1,06}$$ og $$ a_n =\frac{x}{1,{05}^n}$$.

Det gir følgende likning:

$$ \sum _{n=1}^5\frac{x}{1,{06}^n}=100 000$$

Den har løsningen

$$ x=23 739,6\approx 23 740$$

Den årlige innbetalingen er på cirka 23 740 kroner.

Vi finner først ut hvor mye du må betale til sammen, og så trekker vi fra de 100 000 kronene bilen kostet:

$$ \begin{array}{rcl}23 739,6·5 -100 000 & =& 18 698\end{array}$$

Du må altså betale 18 698 kroner i renter hvis du kjøper bilen på avbetaling.

Vi velger her å sammenlikne nåverdier. Vi kjenner terminbeløpet, men ikke vekstfaktoren. Vi setter vekstfaktor $$ =x$$. Da får vi ei rekke der $$ a_1=\frac{9 000}{x}$$, mens $$ k=\frac{1}{x}$$. Det gir denne likningen:

$$ \sum _{n=1}^3\frac{9 000}{x^n}=24 000$$

Vi løser den ved hjelp av et digitalt verktøy og får at

$$ x=1,0613\approx 1,061$$

Siden vekstfaktoren er 1,061, betyr det at renta er 6,1 prosent.

Vi finner først ut hva du må betale for pc-en etter rabatten:

$$ 24 000 \mathrm{kr}·0,95=22 800 \mathrm{kr}$$

Så finner vi terminbeløpet når du skal betale 36 terminer. Vi har da ei rekke hvor $$ a_1=\frac{x}{1,01}$$ og $$ k=\frac{1}{1,01}$$. Det gir denne likningen:

$$ \sum _{n=1}^{36}\frac{x}{1,{01}^n}=22 800$$

Vi løser likningen digitalt og får

$$ x=757,28 \approx 757,3$$

Terminbeløpet er altså cirka 757 kroner.

For å kunne svare på det må vi sammenlikne hvor mye du må betale for pc-en din med de to avtalene.

Hvis du hadde kjøpt pc-en på avbetaling i butikken, ville du ha betalt $$ 3·9 000 \mathrm{kr} = 27 000 \mathrm{kr}.$$

Med forbrukslånet har du betalt $$ 36·757,3 \mathrm{kr} = 27 262,8 \mathrm{kr}$$.

Du kan se at du har betalt litt mer for pc-en med forbrukslånet, men kanskje var det verdt det for å slippe å måtte betale tre store avdrag i slutten av hvert av de tre åra?