Sparing
Vekstfaktor og geometriske rekker
Tidligere har du jobbet med vekstfaktor. Dette skal vi nå ta med oss når vi skal regne ut hvordan en sparekonto utvikler seg over tid.
Hva er vekstfaktor?
Hvis du har glemt helt hva vekstfaktor er, anbefaler vi at du leser artikkelen "Vekstfaktor og prosentvis endring".
Vi finner vekstfaktor slik:
Ved økning på prosent:
Ved nedgang på
Sparing over flere år
Vi starter med å se på et tilfelle der vi setter inn 8 000 kroner på en sparekonto. Vi lar pengene stå i 4 år med 3 prosent rente, noe som gir en vekstfaktor på 1,03. Vi kan regne ut hvor mye dette har vokst til om 4 år:
Hva skjer hvis vi setter inn 8 000 kroner på denne kontoen hvert år? Hva står det da på kontoen om 4 år? Det første beløpet vi setter inn, vil forrente seg i 4 år, som vi så over. Det andre beløpet vi setter inn, vil forrente seg i 3 år og så videre. Vi skaffer oss oversikt i en tabell:
Tidspunkt for innskudd | Innsatt beløp | Renteår | Saldotidspunkt | |||
---|---|---|---|---|---|---|
| 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 1.1.2022 | |
01.01.2018 | 8 000 | x | x | x | x | |
01.01.2019 | 8 000 |
| x | x | x | |
01.01.2020 | 8 000 |
|
| x | x | |
01.01.2021 | 8 000 |
|
| x | ||
01.01.2022 | 8 000 |
Legg merke til at det siste beløpet vi setter inn, ikke rekker å forrente seg i det hele tatt.
Hvis vi nå skal finne ut hvor mye som står på kontoen, legger vi sammen de 5 beløpene i kolonnen til høyre:
Dette kan vi kjenne igjen som ei geometrisk rekke med 5 ledd der
Vi kan finne summen enten ved å bruke formelen for
Vi tenker oss en situasjon der vi har spart i 10 år, og i stedet for å sette inn det 11. beløpet velger vi å ta ut det som står på kontoen. Da får vi ei rekke som ligner på den vi har over, med
Svar
Vi må tenke på at det første beløpet vi setter inn, får ti hele renteår, mens det siste beløpet vi setter, inn får ett helt renteår. Det betyr at vi får at
Tidspunkt for innskudd | Innsatt beløp | Renteår | Saldotidspunkt | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2018 | 2019 | ... | 2026 | 2027 | 31.12.2027 | |
01.01.2018 | 8 000 | x | x | x | x | x | |
01.01.2019 | 8 000 |
| x | x | x | x | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
01.01.2026 | 8 000 |
|
| x | x | ||
01.01.2027 | 8 000 | x |
Denne rekka gir oss den eksplisitte formelen
Vi finner ut hvor mye vi kan ta ut ved å finne summen av de 10 første leddene i rekka:
Regneeksempel
Vi ønsker å finne ut hvor lang tid det tar før det står mer enn 60 000 kroner på kontoen. Vi bruker den rekka der hvor
Vi løser i GeoGebra og ser at vi får til svar at
Forklaring
Nei, vi er ikke i mål!
Vi må huske på at summer av rekker er ikke kontinuerlige funksjoner. Dersom vi lar pengene stå urørt på kontoen, vil alle renter bli lagt til på årets siste dag. Det betyr at midt i det 7. året vil fortsatt beløpet på kontoen være mindre enn 60 000 kroner, mens det vil bli momentant høyere enn 60 000 kroner enten 31. desember, da rentene blir lagt til, eller den 1. januar, da vi setter inn det neste sparebeløpet.
At vi allikevel får en løsning på likningen vår over, henger sammen med at GeoGebra sine algoritmer nok løser denne likningen:
Uttrykket til venstre i denne ligningen er kontinuerlig, selv om summen av rekka i seg selv ikke er det. Som vi ser, kan vi likevel få interessant informasjon ut fra svaret vi fant. Vi vet at beløpet passerer 60 000 kroner etter at vi setter inn det 6. beløpet. Så gjenstår det å finne ut om beløpet passerer 60 000 kroner i løpet av det 7. året, om det passerer 60 000 kroner idet rentene for det 7. året blir lagt til, eller om det passerer 60 000 kroner idet vi setter inn det 7. beløpet.
Vi regner ut hvor mye som er på kontoen like før og like etter at vi setter inn det 7. beløpet.
Vi er altså avhengig av det 7. sparebeløpet for å passere 60 000 kroner.