Sentralmål
Eksempler på sentralmål
I klassen til Mary Ann fikk elevene disse karakterene på en matematikkprøve:
4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4
Vi ønsker å vurdere hvordan resultatet til klassen var. Var resultatet dårlig eller bra? Vi kan bruke et sentralmål til å si noe om dette.
Et sentralmål sier noe om hvor hovedtyngden av observasjonene, altså karakterene på prøven, ligger. Vanlige sentralmål er typetall, gjennomsnitt og median.
Typetall
Typetallet er den verdien i et tallmateriale som er "mest typisk", det vil si at det er den verdien som forekommer flest ganger. Nedenfor har vi samlet dataene i en frekvenstabell, som teller opp hvor mange forekomster det var av de ulike karakterene. På matematikkprøven var det hele åtte elever som fikk karakteren 2. Karakteren 2 forekom oftest. Typetallet for dette datamaterialet er derfor 2.
Karakter | Frekvens |
---|---|
1 | 2 |
2 | 8 |
3 | 7 |
4 | 5 |
5 | 7 |
6 | 1 |
Vurder om du synes at karakteren 2 er et bra sentralmål på resultatet til klassen på prøven.
Kommentarer
Selv om flest elever fikk karakteren 2, har de fleste elevene fått bedre karakter enn 2. Det er bare 2 elever som har fått dårligere karakter enn 2. Her vil ikke typetallet være egnet til å si noe om resultatet i klassen.
Som i eksempelet over er det ikke alltid slik at typetallet gir et riktig inntrykk av gruppa som helhet. Gjennomsnittet gir ofte bedre informasjon.
Gjennomsnitt
Vi finner gjennomsnittskarakteren ved å summere verdiene av alle karakterene og så dividere med antall karakterer. Siden karakteren 2 forekom åtte ganger, kan vi multiplisere to med åtte for å finne summen av karakterverdiene til de elevene som fikk karakteren 2. Det betyr at vi multipliserer karakterverdien med frekvensen av karakterverdien. Derfor er det lurt å lage en frekvenstabell med en ekstra kolonne der vi multipliserer disse tallene. Det har vi gjort nedenfor i den tredje kolonnen med betegnelsen , og vi har også summert kolonnene.
Karakter | Frekvens |
|
---|---|---|
1 | 2 | 2 |
2 | 8 | 16 |
3 | 7 | 21 |
4 | 5 | 20 |
5 | 7 | 35 |
6 | 1 | 6 |
Sum | 30 | 100 |
Hva betyr summen i kolonnen for frekvensene?
Løsning
Summen i kolonnen for frekvensene blir antall karakterer.
Hva betyr summen i kolonnen for produktet av karakterer og frekvenser?
Løsning
Summen i kolonnen for produktet av karakterer og frekvenser blir summen av alle karakterene.
Gjennomsnittskarakteren blir da
Legg merke til at vi bruker
Hvis vi først har antallet karakterer og summen av alle karakterene, finner vi gjennomsnittet ved å dele disse tallene på hverandre som vist over. Her kan vi ha fordel av å gjøre disse utregningene i et regneark der vi skriver inn kolonnene for karakterer og frekvens. Så lager vi en ny kolonne der hver celle inneholder summen av karakterverdiene til hver karakter,
Vurder om gjennomsnittskarakteren er bedre å bruke som sentralmål enn typetallet.
Kommentarer
Her kan det se ut som at gjennomsnittet (3,3) er et bedre sentralmål på hvordan klassen har gjort det på prøven, enn typetallet (2).
Merk at det ikke alltid er slik at gjennomsnittet gir det beste sentralmålet på et tallmateriale.
Median
Vi kan bruke den midterste verdien i et datamateriale som sentralmål. Denne verdien (eller observasjonen) kalles medianen i datamaterialet. Med den midterste verdien mener vi den verdien som står midt i rekka av verdier når de er sortert i stigende rekkefølge.
Vi ser på resultatene fra matematikkprøven i klassen til Mary Ann. Datamaterialet er altså alle prøvekarakterene de 30 elevene fikk:
4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4
Vi sorterer karakterene i stigende rekkefølge:
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6
Hvilken verdi står i midten i denne tallrekka?
Løsning
Problemet her er at det er ingen av verdiene som står i midten. Midten er midt imellom karakter nummer 15 og karakter nummer 16. Vi kan eventuelt si at det er disse to verdiene (to tretall) som står i midten.
Definisjon av medianen i et datamateriale
For et utvalg av verdier der antallet er et oddetall, defineres medianen som den midterste verdien når alle verdiene er sortert i stigende rekkefølge.
Når antall verdier er et partall, er medianen gjennomsnittet av de to midterste verdiene.
En annen måte å definere medianen på er at det er den verdien som er slik at omtrent 50 prosent av observasjonene er mindre enn eller lik denne verdien.
Bruk definisjonen over og bestem medianen til karakterene.
Løsningsforslag
I datamaterialet vårt med 30 karakterer er medianen lik gjennomsnittet av karakter nummer 15
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6
De to midterste karakterene er de to treerne som er uthevet i rekka ovenfor. Medianen blir da
Vi kan telle opp og se at de to treerne virkelig blir de to midterste karakterene. Vi får 14 karakterer til venstre og 14 til høyre, se figuren nedenfor.
Hvis antall karakterer hadde vært et oddetall, for eksempel 29, finner vi den midterste karakteren som karakter nummer
Da vil det være 14 karakterer til venstre, 14 til høyre og 1 i midten, til sammen 29 karakterer. I figuren nedenfor har vi tatt bort en av toerne fra det opprinnelige prøveresultatet.
Median ved hjelp av kumulativ frekvens
Vi kan bruke en oversikt over de kumulative frekvensene til et tallmateriale for finne medianen.
Hva blir den kumulative frekvensen for karakteren 3 i eksempelet?
Løsning
Den kumulative frekvensen for karakteren 3 er alle karakterene som er mindre enn eller lik 3, altså alle enere, toere og treere. Den kumulative frekvensen for karakteren 3 blir
Nedenfor har vi utvidet frekvenstabellen med en kolonne for kumulativ frekvens for eksempelet med karakterer.
Karakter | Frekvens | Kumulativ frekvens |
---|---|---|
1 | 2 | 2 |
2 | 8 | 10 |
3 | 7 | 17 |
4 | 5 | 22 |
5 | 7 | 29 |
6 | 1 | 30 |
Hvordan kan du bruke de kumulative frekvensene til å finne medianen?
Forklaring
Vi har fra tabellen at 17 elever fikk karakteren 3 eller lavere, mens 10 elever fikk karakteren 2 eller lavere. Det må bety at medianen, som er karakter nummer 15 og karakter nummer 16 når karakterene er sortert stigende, begge må være treere. Altså er medianen 3, som vi visste fra før.
Vi kan også finne medianen ved å bruke kommandoen "Median" i et regneark eller i GeoGebra.