Grenseverdier til polynomer og rasjonale uttrykk

Eksempel

$\underset{x\to 4}{\lim } \left(x^2-3x+3\right)=4^2-3·4+3=7$

Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Grenseverdi()», som vist til høyre.

Rasjonale funksjoner består av polynomfunksjoner i teller og nevner. Vi kan også her finne grenseverdier ved innsetting. Forutsetningen er at vi ikke får null i nevner.

Vi skiller mellom tre ulike situasjoner.

1. Grenseverdi for en brøk der nevneren ikke går mot null

Eksempel

Vi ser på brøkene $\frac{x+5}{x-1}$ og $\frac{x-3}{x-1}$ når $x$ går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiene direkte ved å sette inn 3 i stedet for $x$ og regne ut.

$\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{\lim } \frac{x+5}{x-1}=\frac{3+5}{3-1}=\frac{8}{2}=4\\ \\ \underset{x\to 3}{\lim } \frac{x-3}{x-1}=\frac{3-3}{3-1}=\frac{0}{2}=0\end{array}$

2. Grenseverdi for en brøk der nevneren går mot null, men telleren ikke går mot null

Vi ser på brøken $\frac{2x-1}{x^2-4}$. Hva skjer med brøken når $x$ går mot 2?

Oppgave

Prøv å sette inn tall som er nære 2. Hva får du?

Nedenfor viser vi hvordan vi kan regne en slik oppgave.

Eksempel

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2-6}{x-2}\\ \\ 2^2-6=-2\\ \\ 2-2=0\\ \\ \underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2-6}{x-2} \mathrm{eksisterer} \mathrm{ikke}\end{array}$

Med CAS i GeoGebra får vi et spørsmålstegn til svar. Tilsvarende som når det ikke eksisterer en løsning på en likning, betyr dette at grenseverdien ikke eksisterer.

3. Grenseverdi for en brøk der både telleren og nevneren går mot null

Vi ser på brøken $\frac{x^2-16}{2x-8}$. Når $x=4$, får vi null i både teller og nevner.

Dette betyr at vi kan faktorisere og forkorte, og vi får

$\underset{x\to 4}{\lim } \frac{x^2-16}{2x-8}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\left(\cancel{x-4}\right)\left(x+4\right)}{2\left(\cancel{x-4}\right)}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\left(x+4\right)}{2}=\frac{4+4}{2}=4$

Her er $f\left(x\right)=\frac{x^2-16}{2x-8}$ og $g\left(x\right)=\frac{\left(x+4\right)}{2}$.

Med CAS i Geogebra får vi samme svar.

Nedenfor viser vi hvordan en slik oppgave kan regnes for hånd.

Eksempel

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2+x-6}{x-2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{2}^2+2-6& = & 0\\ & & \\ 2-2& =& 0\end{array}$

$\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2+x-6}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim } \frac{\left(\cancel{x-2}\right)\left(x+3\right)}{\cancel{x-2}}=\underset{x\to 2}{\lim } \left(x+3\right)=2+3=5$

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Eksempel

$$ \begin{array}{l}\underset{x\to 4}{\lim } \frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3x-12}\\ \\ 6\left(\sqrt{4}-2\right)=0\\ \\ 3·4-12=0\\ \\ \underset{x\to 4}{\lim } \frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3x-12}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3(x-4)}\\ \\ =\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\stackrel{2}{\cancel{6}}\cancel{\left(\sqrt{x}-2\right)}}{\cancel{3}(\sqrt{x}+2)\cancel{\left(\sqrt{x}-2\right)}}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{2}{\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ \\ =\frac{2}{\left(\sqrt{4}+2\right)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$$

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.