Praktiske eksempler på rasjonale funksjoner

Tove leier en bobil for én uke. Prisen er 10 000 kroner. I tillegg må hun betale 3 kroner per kjørte kilometer.

Tove er interessert i hva kostnadene blir per kjørte kilometer.

Gjennomsnittsprisen per kjørte kilometer, $$ P$$, er en funksjon av antall kjørte kilometer, $$ x$$.

a) Finn et uttrykk for funksjonen $$ P\left(x\right)$$. Husk å forklare hvordan du går fram.

b) Finn $$ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }P\left(x\right)$$. Hva betyr resultatet?

c) Finn den vertikale asymptoten til funksjonen $$ P$$.

Definisjonsmengden til funksjonen avhenger av forventet antall kjørte kilometer. La oss anta at det totale antallet kjørte kilometer ikke overstiger 9 000. Da er definisjonsmengden til funksjonen fra og med 0 til og med 9 000.

d) Tegn grafen til funksjonen. Tegn også asymptotene. Bruk grafen til å finne ut hva gjennomsnittsprisen per kjørte kilometer blir når Tove kjører 300 kilometer, 500 kilometer og 2 000 kilometer.

Løsning

Vi skriver inn funksjonen i CAS og bruker kommandoen Asymptote for å finne og få tegnet asymptotene. Så finner vi de tre gjennomsnittsprisene ved å lage punkt på grafen, se linje 3, 4 og 5 i CAS-utklippet.

Funksjonen ble lagt inn uten å ta hensyn til definisjonsmengden. Det kan se ut som kommandoen Asymptote ikke virker da. Grafen viser at ved en total kjørelengde på 300 kilometer blir prisen per kilometer 36 kroner. Ved en total kjørelengde på 500 kilometer, blir prisen per kilometer 23 kroner, og ved en total kjørelengde på 2 000 kilometer, blir prisen per kilometer 8 kroner.

Gjennomsnittlig pris per kilometer avtar med økende kjørelengde. Grafen synker veldig fort til å begynne med, for så å flate ut.

e) Hva betyr det i praksis at den horisontale asymptoten er $$ y=3$$?

f) Hva betyr det i praksis at den vertikale asymptoten er $$ x=0$$?

Jonas har fått en bakterieinfeksjon som krever medisiner i form av tabletter. Konsentrasjon av medisin i blodet kan beregnes med funksjonsuttrykket $$\begin{gathered} K\left(x\right)=\frac{23x}{x^2+4} \\ \end{gathered}$$.

$$ K\left(x\right)$$ angir konsentrasjon av medisin i blodet i $$ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}$$, og $$ x$$ er timer etter at tabletten er inntatt.

a) Hva slags funksjon er $$ K\left(x\right)$$?

b) Regn ut konsentrasjonen av medisin i pasientens blod etter 0,5 time, 2, 6 og 12 timer.

c) Etter ei uke får Jonas beskjed om at han skal få en lavere dose medisin, slik at konsentrasjon av medisin i blodet halveres. Sett opp et nytt funksjonsuttrykk $$ H\left(x\right)$$ som angir konsentrasjonen av medisin i blodet når han halverer dosen.

d) Tegn $$ $ K\left(x\right)$$$ og $$ H\left(x\right)$$ i det samme koordinatsystemet.

Løsning

Vi bruker graftegner og legger inn funksjonsuttrykkene $$ K\left(x\right)$$ og $$ H\left(x\right)$$:

e) Undersøk om $$ K\left(x\right)$$ eller $$ H\left(x\right)$$ har asymptoter.

Ei gruppe elever på Rundkollen videregående skole planlegger å dele på russebuss. De får tilbud om å kjøpe en buss for 65 000 kroner og regner med å bruke 17 000 kroner til å pusse den opp. I tillegg bestiller de russeklær for 3 500 kroner hver og billetter til landstreff til 2 300 per billett.

a) Sett opp et funksjonsuttrykk som viser de samlede utgiftene $$ U\left(x\right)$$ per elev.

b) Elevene regner ut at de ikke kan være færre enn 8 eller flere enn 16 på bussen. Sett opp definisjonsmengde og verdimengde for $$ U\left(x\right)$$.

c) Finn asymptotene til funksjonen, og forklar hva de betyr i praksis.

a) Marco har kjøpt sin første bil. Han betaler 5 800 kroner i måneden i billån. Bensinkostnader beregnes til 9,8 kroner per mil. Sett opp et funksjonsuttrykk $$ B\left(x\right)$$ som viser Marcos månedlige utgifter til bil per kilometer.

b) Stedet der Marco bor, innfører bomring. Marco regner ut at kostnader til bompenger i gjennomsnitt blir 0,19 kroner per kilometer bilkjøring. Gjør om på $$ B\left(x\right)$$ slik at bompengene kommer med i uttrykket.

c) Bestefaren til Marco får av og til skyss til butikken av Marco. Det setter han stor pris på, og han tilbyr å hjelpe Marco litt med utgiftene til bilen. "Jeg betaler de månedlige utgiftene dine for de første 50 kilometerne", sier han. Gjør om på $$ B\left(x\right)$$ slik at det viser hva Marco må betale i månedlige utgifter til bil per kilometer.

d) Tegn grafen til $$ B\left(x\right)$$, og ta med eventuelle asymptoter.

Løsning

Vi tegner inn grafen til $$ B\left(x\right)$$ og asymptotene:

d) Hva skjer hvis Marco kjører 50 kilometer eller mindre i løpet av en måned? Hva viser grafen til $$ B\left(x\right)$$, og hvordan tror du dette løses i praksis?

En elevbedrift vil lage mobildeksler med skolens logo på. Mobildeksler skal selges til elever og ansatte. De må leie en 3D-printer, og det koster 5 250 kroner. I tillegg går det med materiell for 0,67 kroner per deksel.

a) Sett opp et funksjonsuttrykk som viser utgifter per deksel $$ D\left(x\right)$$, der $$ x$$ er antall mobildeksler.

b) Hvert mobildeksel skal ha skolens logo i gullbokstaver, og det koster 0,23 kroner ekstra per deksel. Gjør om $$ D\left(x\right)$$ slik at kostnader til skolens logo blir tatt med.

c) Skolen bestemmer at alle ansatte skal få et gratis mobildeksel. Det er 82 ansatte ved skolen. Dette medfører at utgiftene til produksjon av deksler bare deles på dekslene som selges. Gjør om på $$ D\left(x\right)$$ for å beregne den nye prisen per mobildeksel.