Introduksjon til kombinatorikk
Kombinatorikk er en gren innen matematikk vi kan bruke til å finne ut på hvor mange ulike måter vi kan kombinere elementer etter ulike kriterier. Enkelt sagt er kombinatorikk opptelling av hvor mange ulike utfall vi kan få i et forsøk.
Som en introduksjon til kombinatorikk ønsker vi å gjøre en liten øvelse. Dersom skolen din har tellebrikker i ulike farger, kan de være en god hjelp. Hvis ikke du har slike brikker for hånden, kan du tegne med ulike farger eller skrive ulike symboler.
For å gjøre denne øvelsen trenger du brikker i fem forskjellige farger. Du bør ha omtrent 10–15 av hver farge.
Nå skal du prøve å finne ut hvor mange ulike par du kan lage med to av disse fem fargene. Slå deg gjerne sammen med en medelev, og prøv dere fram. Er dere enige om hvilke kriterier dere skal bruke? Får dere ulike svar? Er noen av disse svarene riktigere enn de andre?
Vent gjerne en stund med å åpne tipsboksen under – i den finner du noe å tenke nærmere gjennom.
Vi sa innledningsvis at kombinatorikk handler om å telle opp antall utfall i et forsøk. Vi kan se på øvelsen med tellebrikkene som et forsøk med fem tellebrikker i fem ulike farger i en hatt. Vi trekker to tellebrikker fra hatten på den måten at vi trekker én og én brikke.
Antall forskjellige utfall vi får i forsøket, avhenger av to ting:
- Legger vi tilbake den første brikken før vi trekker brikke nummer to? Hvis vi gjør det, er to like brikker et mulig utfall. Uten tilbakelegging har vi ikke denne muligheten.
- Skal vi oppfatte for eksempel blå brikke i første trekk og rød brikke i andre trekk som det samme utfallet som rød brikke i første trekk og blå brikke i andre trekk? Sagt på en enklere måte: Skal rekkefølgen bety noe? Hvis rekkefølgen betyr noe, har vi et ordnet utvalg, ellers er det et uordnet utvalg.
I løsning nummer 1 har vi ordnet utvalg med tilbakelegging. Vi får et utvalg med 25 ulike utfall.
I løsning nummer 2 har vi ordnet utvalg uten tilbakelegging. Vi får et utvalg med 20 ulike utfall. De fem mulige utfallene med like brikker forsvinner.
I løsning nummer 3 har vi uordnet utvalg uten tilbakelegging. Vi halverer antall utfall i forhold til løsning nummer 2, siden rekkefølgen ikke betyr noe, og vi ender på 10 utfall. Rød pluss blå er samme utfall som blå pluss rød.
I løsning nummer 4 har vi uordnet utvalg med tilbakelegging. Vi tar med de fem utfallene med like brikker igjen, og vi får fem flere utfall enn i løsning nummer 3.
De tre første typene av utvalg skal du få bli godt kjent med i artikkelen "Tre ulike typer utvalg", men før vi kommer så langt, skal vi jobbe litt med fakultet og binomialformelen.