Ulikheter av andre grad
Vi skal løse ulikheten
Her kan vi ikke bruke de vanlige metodene vi bruker når vi løser ulikheter av første grad.
Utforsking av ulikheten
Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side, ikke ulikt slik vi gjør med andregradslikninger.
Denne ulikheten har den samme løsningen som den øverste. Vi starter med å løse den ordnede ulikheten grafisk. Vi setter lik uttrykket på venstre side og tegner grafen til funksjonen i GeoGebra. Den ordnede ulikheten spør etter når uttrykket på venstre side er mindre enn null. Grafisk betyr det når grafen til
Grafen ligger under
Dette svaret er også en ulikhet, en dobbel ulikhet, som sier at
Skrivemåten betyr "x er element i intervallet ⟨1, 4⟩", altså at
Hvorfor er ikke tallene 1 og 4 med i løsningen?
Løsning
Hvis vi setter inn 1 eller 4 i den ordnede ulikheten, blir det null på venstre side, og null er ikke mindre enn null, det er lik null.
Løsning ved regning for hånd
Hvordan skal vi så gjøre dette ved regning for hånd uten å tegne grafen? Vi kan i hvert fall starte med å finne ut når uttrykket på venstre side av den ordna ulikheten er lik null ved å løse andregradslikningen
Vi bruker abc-formelen.
Vi vet nå at uttrykket
Problemet er at vi vet ikke om uttrykket er større eller mindre enn null når vi for eksempel er mellom nullpunktene. Det vi kan gjøre, er å teste uttrykket ved å sette inn
Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle
For
For
For
Hvorfor vet vi nå at løsningen på ulikhetene er
Løsning
Vi vet at for
Nå har vi det vi trenger for å skrive opp løsningen. Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av
som vi fant tidligere.
I løsningen testet vi med
Tips til oppgaven
Se på andregradsleddet.
Løsning
Fortegnet til andregradsleddet avgjør om grafen til uttrykket ser ut som et smilefjes eller et surt fjes. I eksempelet vårt er andregradsleddet positivt, som betyr at grafen er smilende. Da vet vi at grafen har et bunnpunkt, og da må grafen ligge under
Løsning med CAS
Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen
Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.
Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()":
Løs(x^2<5x-4)
Grafisk løsning
Vi løser ulikheten grafisk på den samme måten som vi gjorde med lineære ulikheter.
Beskriv gangen i framgangsmåten for å løse ulikheten i dette eksempelet.
Løsning
Vi setter venstresida av ulikheten lik funksjonen
Så tegner vi grafen til de to funksjonene og finner for hvilke
Gjennomfør den grafiske løsningen.
Løsning
Vi velger å gjøre det med GeoGebra. Vi skriver inn funksjonene i algebrafeltet og finner skjæringspunktene mellom de to grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".
Ulikheten spør etter hvor grafen til
Et siste spørsmål: Hva er forskjellen på den grafiske løsningen her og det vi gjorde grafisk lengre opp på sida under overskriften "Utforsking av ulikheten"?
Løsning
Øverst på sida hadde vi ordnet ulikheten slik at det sto null på høyre side. Nederst har vi brukt ulikheten slik den er.