Ulikheter av andre grad

Vi skal løse ulikheten

$x^2<5x-4$

Her kan vi ikke bruke de vanlige metodene vi bruker når vi løser ulikheter av første grad.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side, ikke ulikt slik vi gjør med andregradslikninger.

$x^2-5x+4<0$

Denne ulikheten har den samme løsningen som den øverste. Vi starter med å løse den ordnede ulikheten grafisk. Vi setter $$ f\left(x\right)$$ lik uttrykket på venstre side og tegner grafen til funksjonen i GeoGebra. Den ordnede ulikheten spør etter når uttrykket på venstre side er mindre enn null. Grafisk betyr det når grafen til $$ f$$ ligger under $$ x$$-aksen. Vi finner nullpunktene til funksjonen med verktøyet "Nullpunkt". Fra GeoGebra får vi at nullpunktene er

$$ x=1 \vee x=4$$

Grafen ligger under $$ x$$-aksen når $$ x$$ er mellom disse to verdiene. Løsningen på ulikheten kan vi derfor skrive som

$$ 1<x<4$$

Dette svaret er også en ulikhet, en dobbel ulikhet, som sier at $$ x$$ skal være større enn 1 og samtidig mindre enn 4. Vi kan også skrive løsningen som

$$ x\in \langle 1,4\rangle $$

Skrivemåten betyr "x er element i intervallet ⟨1, 4⟩", altså at $$ x$$ er med i intervallet fra 1 til 4.

Hvorfor er ikke tallene 1 og 4 med i løsningen?

Hvordan skal vi så gjøre dette ved regning for hånd uten å tegne grafen? Vi kan i hvert fall starte med å finne ut når uttrykket på venstre side av den ordna ulikheten er lik null ved å løse andregradslikningen

$$ $ x^2-5x+4=0$$$

Vi bruker abc-formelen.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-5x+4 & = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 3}{2}\\ & & \\ x& =& 4 \vee x=1\end{array}$$

Vi vet nå at uttrykket $x^2-5x+4$ er lik 0 når $x=1$ og når $x=4$.

Problemet er at vi vet ikke om uttrykket er større eller mindre enn null når vi for eksempel er mellom nullpunktene. Det vi kan gjøre, er å teste uttrykket ved å sette inn $$ x$$-verdier på hver side av nullpunktene og se om vi får et svar som er større eller mindre enn null. Vi bruker da at grafen til en slik funksjon bare kan skifte fortegn i nullpunktene, noe som gjelder for alle polynomfunksjoner slik som vi har her.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle $x$-verdier i hvert av de tre intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩,⟨1, 4⟩$ og $⟨4, \to ⟩$. Vi tester uttrykket for $x$-verdiene 0, 2 og 5, som ligger i hvert sitt intervall.

For $x=0$ får vi

$$ 0^2-5·0+4=4>0$$  (Uttrykket er positivt.)

For $x=2$ får vi

$$ $ 2^2-5·2+4=-2<0$$$  (Uttrykket er negativt.)

For $x=5$ får vi

$$ $ 5^2-5·5+4=4>0$$$  (Uttrykket er positivt.)

Hvorfor vet vi nå at løsningen på ulikhetene er $$ x$$-verdiene mellom 1 og 4?

Nå har vi det vi trenger for å skrive opp løsningen. Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x^2<5x-4$. Det er det samme som å finne ut når $x^2-5x+4<0$. Da er løsningen

$$ $ x\in ⟨1,4⟩$$$

som vi fant tidligere.

I løsningen testet vi med $$ x$$-verdier på hver side av nullpunktene for å avgjøre i hvilket intervall / hvilke intervaller løsningen ligger. Kunne vi ha brukt kjente egenskaper ved andregradsfunksjonen til å finne ut det samme uten å teste?

Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ . Da vil det se ut som vist nedenfor.

Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.

Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()":

Løs(x^2<5x-4)

Vi løser ulikheten grafisk på den samme måten som vi gjorde med lineære ulikheter.

Beskriv gangen i framgangsmåten for å løse ulikheten i dette eksempelet.

Gjennomfør den grafiske løsningen.

Løsning

Vi velger å gjøre det med GeoGebra. Vi skriver inn funksjonene i algebrafeltet og finner skjæringspunktene mellom de to grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Ulikheten spør etter hvor grafen til $$ f$$ ligger under grafen til $$ g$$, som er når  $$ 1<x<4$$, som vi har sett tidligere.

Et siste spørsmål: Hva er forskjellen på den grafiske løsningen her og det vi gjorde grafisk lengre opp på sida under overskriften "Utforsking av ulikheten"?