Funksjoner med delt forskrift

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  $$ x=0$$.

Når $$ x$$ går mot 0 fra høyre, og når $$ x$$ går mot 2 fra venstre:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·0+2=2\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=0^2+2=2\end{array}$$

$$ f\left(0\right)=0^2+2=2$$

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen $$ f$$ er dermed kontinuerlig for  $$ x=0$$. For alle andre verdier av $$ x$$ er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av $$ x$$.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  $$ x=2$$.
Når $$ x$$ går mot 2 fra høyre, og når $$ x$$ går mot 2 fra venstre:

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·2+2=6\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=2^2+2=6\\ & & \end{array}$$$

$$ $ f\left(2\right)=2^2+2=6$$$

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen $$ f$$ er dermed kontinuerlig for  $$ x=2$$.

For alle andre verdier av $$ x$$ er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av $$ x$$.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  $$ x=1$$.

Når $$ x$$ går mot 1 fra høyre, og så når $$ x$$ går mot 1 fra venstre:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·1+2=4\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=1^2+2=3\end{array}$$

$$ f\left(1\right)=1^2+2=3$$

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er ikke like. Funksjonen $$ f$$ er dermed ikke kontinuerlig for  $$ x=1$$. For alle andre verdier av $$ x$$ er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for  $$ x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$$.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  $$ x=1$$.

Når $$ x$$ går mot 1 fra høyre, og så når $$ x$$ går mot 1 fra venstre:

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-x^2+9\right)=-1^2+9=8\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x+9\right)=-1+9=8\\ & & \end{array}$$$$$ f\left(1\right)=-1+9=8$$

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen $$ f$$ er dermed kontinuerlig for  $$ x=1$$. For alle andre verdier av $$ x$$ er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av $$ x$$.

Selv om funksjonsforskriften er delt i tre deler, gjelder det samme kravet til kontinuitet som før.

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  $$ x=1$$.

Når $$ x$$ går mot 1 fra høyre, og så når $$ x$$ går mot 1 fra venstre:

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2=1^2=1\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2·1-1=1\\ & & \end{array}$$$
$$ f\left(1\right)=2$$

De to grenseverdiene er like, men $$ f\left(1\right)$$ har en annen verdi (2). Funksjonen $$ f$$ er dermed ikke kontinuerlig for  $$ x=1$$. For alle andre verdier av $$ x$$ er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for  $$ $ x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$$$.

For å tegne grafen til funksjonen i GeoGebra, skriver vi

Dersom(x<1,2x-1,1<=x<=1,2,x>1,x^2)

GeoGebra tegner dessverre ikke punktet  $$ \left(1,f\left(1\right)\right)=\left(1,2\right)$$, så det må vi gjøre manuelt. Legg også merke til at vi må bruke dobbel ulikhet i stedet for å skrive  x=1  i kommandoen.

Vi regner først ut $$ f\left(4\right)$$. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for  $$ x\ge 4$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(4\right) & =& 2,5·4-a=10-a\\ & =& \underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$$

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når  $$ x\to 4^{-}$$ .

$$ \underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=4-3=1$$

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(4\right)\end{array}$$

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}10-a & =& 1\\ -a & =& 1-10\\ a & =& 9\end{array}$$

Vi regner først ut $$ f\left(2\right)$$. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for  $$ x\ge 2$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(2\right) & =& a·2=2a\\ & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$$

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når  $$ x\to 2^{-}$$ .

$$ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2^2-1=3$$

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}$$

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}2a & =& 3\\ a & =& \frac{3}{2}\end{array}$$

Vi regner først ut $$ f\left(0\right)$$. Da må vi bruke det øverste funksjonsuttrykket, som gjelder for  $$ x\le 0$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(0\right) & =& -2·0^2+3=3\\ & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$$

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når  $$ x\to 0^{+}$$ .

$$ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-0,5·0+a=a$$

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\end{array}$$

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}a & =& 3\end{array}$$

Dersom vi setter det andre vilkåret til  $$ x<1$$  i stedet for  $$ x\le 1$$, vil ikke funksjonen lenger være definert for  $$ x=1$$, og funksjonen vil være kontinuerlig fordi den er kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

Vi har at grafen til det første funksjonsuttrykket, som er den rette linja, går mot verdien 4 når  $$ x\to 1$$. Dette er 1 mer enn hva grafen til det andre funksjonsuttrykket går mot når  $$ x\to 1$$. Dersom vi endrer det andre funksjonsuttrykket (ved å legge til 1) til  $$ x^2+3$$, vil de to grafdelene henge sammen, og funksjonen blir kontinuerlig. Det betyr at

$$ $ f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+2,& x>1\\ x^2+3,& x\le 1\end{array}\right.$$$

er en kontinuerlig funksjon.

Vi må undersøke om funksjonen er kontinuerlig for  $$ x=1$$.

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·1+2=4\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+3\right)=1^2+3=4\\ & & \end{array}$$$

I tillegg har vi at  $$ $ f\left(1\right)=1^2+3=4$$$.

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Det betyr at funksjonen er kontinuerlig.

Vi må kreve at  $$ $ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$$$

Den første likheten gir

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to a^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right) & =& \underset{x\to a^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)\\ a^2+2 & =& 2a+2\\ a^2-2a & =& 0\\ a\left(a-2\right) & =& 0\\ a & =& 0 \vee a-2=0\\ a & =& 0 \vee a=2\end{array}$$

Vi regner så ut at  $$ f\left(a\right)=a^2+2$$. Dette er det samme som den ene grenseverdien og gir derfor ikke noen nye løsninger (eller begrensninger).

Stemmer dette med hva vi fant i oppgave 2.2.10 a), b) og c)?

Vi kan tegne grafene til de to funksjonsuttrykkene og finne skjæringspunktene.