Grenseverdier til polynomer og rasjonale uttrykk
Grenseverdier til polynomfunksjoner
En regel sier at grenseverdien til en polynomfunksjon når går mot en bestemt verdi , kan vi finne ved å regne ut .
når er en polynomfunksjon.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Grenseverdi()», som vist til høyre.
Grenseverdien til en rasjonal funksjon
Rasjonale funksjoner består av polynomfunksjoner i teller og nevner. Vi kan også her finne grenseverdier ved innsetting. Forutsetningen er at vi ikke får null i nevner.
Vi skiller mellom tre ulike situasjoner.
1. Grenseverdi for en brøk der nevneren ikke går mot null
Eksempel
Vi ser på brøkene og når går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiene direkte ved å sette inn 3 i stedet for og regne ut.
2. Grenseverdi for en brøk der nevneren går mot null, men telleren ikke går mot null
Vi ser på brøken . Hva skjer med brøken når går mot 2?
Oppgave
Prøv å sette inn tall som er nære 2. Hva får du?
Løsningsforslag
Når går mot 2, vil telleren gå mot 3, mens nevneren blir mindre og mindre. Det betyr at verdien til brøken blir større og større. Utregningene ovenfor viser dette. Det viser seg at det ikke eksisterer noen grenseverdi. Verdien av brøken vokser over alle grenser.
Det betyr at ikke eksisterer.
Hva får du hvis du prøver kommandoen «Grenseverdi» i CAS i GeoGebra på denne grenseverdien?
En brøk har ingen grenseverdi for hvis vi får null i nevner og et tall forskjellig fra null i teller når vi setter inn tallet . Da vil verdien av brøken gå mot enten pluss eller minus uendelig når nærmer seg .
Nedenfor viser vi hvordan vi kan regne en slik oppgave.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra får vi et spørsmålstegn til svar. Tilsvarende som når det ikke eksisterer en løsning på en likning, betyr dette at grenseverdien ikke eksisterer.
3. Grenseverdi for en brøk der både telleren og nevneren går mot null
En regel sier at hvis to funksjoner og er like for alle verdier i nærheten av , men ikke nødvendigvis for , så er
Vi ser på brøken . Når , får vi null i både teller og nevner.
Dette betyr at vi kan faktorisere og forkorte, og vi får
Her er og .
Med CAS i Geogebra får vi samme svar.
Nedenfor viser vi hvordan en slik oppgave kan regnes for hånd.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.