Eksponentiallikninger

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 prosent hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Vekstfaktoren blir

$1-\frac{10}{100}=0,90$

Bilens verdi, $V\left(x\right)$, $x$ antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

$V\left(x\right)=200 000·0,{90}^x$

Av grafen til $V$ kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, det vil si når $$ x=-4$$, altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette med CAS i GeoGebra.

På linje 1 skriver vi inn funksjonen $$ V\left(x\right)$$. Så regner vi ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner ved å løse likningen $$ V\left(x\right)=100 000$$. Vi løser likningen eksakt med "Løs" først og trykker på knappen "tilnærmet lik" etterpå for å få svaret i linje 2 som et enkelt tall.

Til slutt på linje 4 regner vi ut hvor mye bilen var verdt for 4 år siden.

Vi får det samme svaret som vi fant grafisk.

I eksempel 5 skal vi se litt på en annerledes eksponentiallikning.

$\begin{array}{rcl} 2·3^x& = & 3·4^x\\ & & \\ \lg \left(2·3^x\right)& =& \lg \left(3·4^x\right)\\ & & \\ \lg 2+\lg 3^x& =& \lg 3 + \lg 4^x\\ & & \\ \lg 2+x·\lg 3& =& \lg 3+x·\lg 4\\ & & \\ x·\lg 3-x·\lg 4& =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x\left(\lg 3-\lg 4\right)& =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x& =& \frac{\lg 3-\lg 2}{\lg 3-\lg 4}\end{array}$

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger.

I praktiske oppgaver som eksemplene 2, 3 og 4, er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier. Utklippet fra CAS i GeoGebra viser hvordan vi først løser likningen eksakt og deretter finner tilnærmingsverdien ved å trykke på knappen "tilnærmet lik", eller skriver $1 på linja under den eksakte løsningen. (Hva betyr det?) Legg merke til at GeoGebra bruker den naturlige logaritmen "ln" i stedet for den briggske logaritmen "lg". Det kunne vi også gjort da vi regnet ut svaret manuelt over.

Oppgave

Det er to andre forskjeller også mellom svaret med den manuelle, eksakte utregningen og det eksakte svaret med CAS. Hva er forskjellene?

Noen likninger inneholder flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

$3^{2x}-4·3^x-12=0$

Hva slags likning er dette, og hvordan kan vi løse denne manuelt?

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i $2x$ og 3 opphøyd i $x$. Fra potensregningen vet vi at $3^{2x}={\left(3^x\right)}^2$. Likningen vår kan da skrives som

${\left(3^x\right)}^2-4·3^x-12=0$

Vi kaller nå $3^x$ for $u$. Likningen blir da

$u^2-4·u-12=0$

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med $u$ som den ukjente.

Andregradslikningen har løsningen

$\begin{array}{rcl}{u}^2-4·u-12& = & 0\\ & & \\ u& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-12\right)}}{2·1}\\ & & \\ u& =& \frac{4\pm \sqrt{16+48}}{2}=\frac{4\pm 8}{2}\\ & & \\ u_1& =& -2 u_2=6\end{array}$

Vi begynte med å sette $$ 3^x=u$$. Når vi nå har funnet at $$ u=-2 \mathrm{eller} u=6$$, må det bety at $$ 3^x=-2 \mathrm{eller} 3^x=6$$.

Løsningen $$ 3^x=-2 $$ gir ingen mening siden potensen $3^x$ alltid er positiv.

Løsningen blir

$3^x=6 \Rightarrow x=\frac{\lg 6}{\lg 3}\approx 1,6$

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som $$ x=\frac{\lg 6}{\lg 3} $$.

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å sette $$ u=u\left(x\right)$$, for å få en enklere likning. Når vi har løst denne og funnet $u$, må vi gå tilbake og finne $x$. Vanligvis vil vi løse slike likninger med CAS, men det er viktig å kjenne til denne løsningsteknikken.