Njuike sisdollui
Bargobihttá

Eksponentiallikninger

Her finner du oppgaver om eksponentiallikninger

1.3.1

Løs likningene uten hjelpemidler. Vi har vist to mulige løsningsforslag på flere av oppgavene.

a) 4x=16

Løsning 1

4x = 16lg4x = lg16xlg4 = lg16x = lg16lg4x = lg42lg4x = 2lg4lg4x = 2

Løsning 2

4x = 164x = 42x = 2

b) 33x=9

Løsning 1

33x = 9ln33x = ln93xln3 = ln323x = ln32ln33x = 2ln3ln33x = 2x = 23

Løsning 2

33x = 933x = 323x = 2x = 23

c) 10x=55

Løsning

10x = 55lg10x = lg55x·lg10 = lg55x = lg55

d) 10-2x=100

Løsning 1

10-2x =  100lg10-2x =lg100-2xlg10=lg100-2xlg10=lg102-2xlg10=2·lg10-2x=2x=-1

Løsning 2

10-2x = 10010-2x = 102-2x = 2x = -1

e) 4x=32

Løsning 1

4x = 32ln4x = ln32xln4 = ln32x = ln32ln4x = ln25ln22x = 5ln22ln2x = 52

Løsning 2

4x = 324x = 4·4·222x = 2·2·2·2·222x = 252x  =  5x = 52

1.3.2

Løs likningene ved regning for hånd.

a) 2,0·0,5x=13

Løsning

2,0·0,5x = 130,5x = 6,5lg0,5x = lg6,5xlg0,5 = lg6,5 x = lg6,5lg0,5

b) 52x=25

Løsning 1

52x = 25ln52x = ln252xln5 = ln522xln5 = 2ln52xln5ln5 = 2ln5ln52x = 2x = 1

Løsning 2

52x = 2552x = 522x = 2x = 1

c) 2x+1=4

Løsning 1

2x+1 = 4ln2x+1 = ln22(x+1)·ln2 = 2ln2x+1 = 2ln2ln2x = 2-1x = 1


Løsning 2

2x+1 = 42x+1 = 22x+1 = 2x = 1

d) 3x+1-11=70

Løsning

3x+1-11 = 703x+1 = 81           81=343x+1 = 34x+1 = 4x = 3

e) 22x2x-1=32

Løsning

22x2x-1 = 3222x-(x-1) = 252x+1 = 25x+1 = 5x = 4



1.3.3

Finn feilen i løsningsforslagene under, og løs oppgavene.


a)

42x = 162x-6               16=4242x = (42)2x-642x = 42+2x-62x = -4+2x2x+2x = -44x = -4x = -1

Løsning

Første feil:

42x = 162x-6               16=4242x = (42)2x-642x = 42+2x-6  2x = -4+2x2x+2x = -44x = -4x = -1

2 må multipliseres med resten av eksponenten slik at 2·2x-6=4x-12.

Andre feil:

2x = -4+2x       Vi får 2x-2x  venstre side.2x-2x =  4

Nytt løsningsforslag:

42x = 162x-6                 16=4242x = (42)2x-642x = 42·(2x-6)42x = 44x-122x = 4x-122x-4x = -12-2x-2 = -12-2x = 6

b)

2e2x-3 = 18e2x-3 = 9                         lne2x-3 = 9                      lne=12x-3 = 92x = 9+32x2 = 122x = 6

Løsning

Feil:

lne2x-3 = 9   må bruke ln på begge sider av likningen.

Nytt løsningsforslag:

2e2x-3 = 18e2x-3 = 9                        lne2x-3 = ln9                      lne = 12x-3 = ln92x = ln32+32x2 = 2ln3+32x = 2ln3+32      x=ln3+32

c)

52·54n = 5102·4n = 108n = 108n8 = 108n = 54

Løsning

Feil:

52·54n = 5102·4n = 10      Eksponentene skal adderes,            ikke multipliseres.

Nytt løsningsforslag:

52·54n = 51052+4n = 5102+4n = 104n = 8n = 84n = 2


d)

-2·102x = -140-2·102x-2 = -140-2102x = 70lg102x = lg702x = lg70x = lg(702)x = lg35

Løsning

Feil:

2x = lg70x = lg702    Det er logaritmen til 70 som                  skal deles  2, ikke 70.

Nytt løsningsforslag:

-2·102x = -140-2·102x-2 = -140-2102x = 70lg102x = lg702x = lg70x = lg702

e)

980102x-2 = 10980 = 10(102x-2)98 = 102x-2lg98 = lg102x-lg2lg98 = 2x-lg2lg98-lg22 = 2x2x = lg9822x = lg492

Løsning

Feil:

98 = 102x-2lg98 = lg102x-lg2    Vi regner 98+2.

Nytt løsningsforslag:

980102x-2 = 10980 = 10(102x-2)98 = 102x-2100 = 102x102 = 102x2 = 2xx = 1

f)

2x2-2x = 44                       4=222x2-2x = (22)42x2-2x = 28x2-2x = 8x(x-2) = 8x = 8 x-2 = 8x = 8 x = 10

Løsning

x2-2x = 8x(x-2) = 8x = 8  x-2 = 8  blir feil Sett uttrykket lik 0:x2-2x-8 = 0

Nytt løsningsforslag:

2x2-2x = 44                        4=222x2-2x  = (22)4  x2-2x  = 8x2-2x-8 = 0(x+2)(x-4) = 0x = -2x = 4            

1.3.4

Miriam kjøpte en skuter for 10 000 kroner i begynnelsen av 2020. Vi regner med at verdien synker med 15 prosent per år. Vi kan da skrive verdien om x år som

Sx=10 000·0,85x



a) Sett opp en likning som viser hvor lang tid det tar til verdien på skuteren er redusert med 50 prosent.

Løsning

10000·0,85x=5000

b) Bruk logaritmer til å regne ut uttrykket i a).

Løsning

0,85x = 500010000lg0,85x = lg0,5xlg0,85 = lg0,5x = lg0,5lg0,85x  4,27

1.3.5

Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved

Tx=3+1,15x     

der x er antall timer etter strømbruddet.

a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet?

Løsning

Når strømbruddet skjer, er x=0. Vi setter inn i 0 uttrykket og får T(0)=3+1.150=3+1=4.

Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet var 4°C.

b) Bruk logaritmer til å regne ut hvor lang tid det går før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader.

Løsning

3+1,15x = 101,15x = 7lg1,15x = lg7xlg1,15 = lg7x = lg7lg1,15x  13,92

c) Tegn grafen til T. La x variere mellom 0 og 20. Løs oppgaven i b) grafisk.

Løsning

Vi tegner linja y=10.

Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til T med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Se punkt A på grafen.

Det tar cirka 13,92 timer før det er 10 grader i kjøleskapet.

d) Bruk logaritmer til å regne ut hvor lang tid det vil ta før temperaturen i kjøleskapet er 16 grader.

Løsning

3+1,15x=161,15x=13xlg1,15= lg13x=lg13lg1,15x  18,35

Det vil ta noe over 18 timer før temperaturen i kjøleskapet er 16 grader.

e) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (i mer enn ett døgn)? Begrunn svaret ditt.

Løsning

Vi kan sette x lik for eksempel 24 og 30 timer, og vi finner temperaturen i kjøleskapet:

T(24)=31,63

T(30)=69,21

Ut fra denne modellen vil temperaturen stige kraftig etter ett døgn, noe som er lite sannsynlig. Vi antar at temperaturen i et kjøleskap uten strøm vil nærme seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk å bruke dersom strømbruddet varer over en lengre periode.

1.3.6

a) Vi antar at hummerbestanden øker med 2,5 prosent i året. Hvor mange år tar det før bestanden er doblet?

Løsning

Vi bruker bokstaven H som tegn for hummerbestanden. Vi bruker 2·H for å vise at hummerbestanden er doblet.

Hva er vekstfaktoren for noe som øker med 2,5 prosent?

1+1,5100=1,025

Vi får formelen:

H·1,025x = 2H1,025x = 2lg1,025x = lg2x·lg1,025 = lg2x = lg2lg1,025x  28,07

Det tar litt over 28 år før hummerbestanden er doblet.

b) I 2017 ble det fanget 454 000 hummere, og i 2018 var fangsten gått ned til 322 000 hummere. Det er mange årsaker til at det ble fanget færre hummere i 2018, men hvor mange prosent minket hummerfangsten med i denne perioden?

Løsning

x·454000 = 322000x = 322000454000x = 0,71

Hummerfangsten minket med 29 prosent fra 2017 til 2018.

c) Når er fangsten nede i 5 000 hummere hvis utviklingen fortsetter i det samme tempoet som i b)?

Løsning

Vi kan starte i 2018 med 322 000 hummere:

322000·0,71x =50000,71x =50003220000,71x = 0,016lg0,71x  = lg0,016x·lg0,71lg0,71 =lg0,016lg0,71x  = 12,07

Hummerfangsten vil være nede i 5 000 hummere i 2030 hvis den minker med 29 prosent hvert år.