Oppgåve

Eksponentiallikningar

Her finn du oppgåver om eksponentiallikningar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Løys likningane utan hjelpemiddel. Vi har vist to moglege løysingsforslag på fleire av oppgåvene.

a) $4^{x} = 16$

Løysing 1

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 16 \\ \lg 4^{x} & = & \lg 16 \\ x \lg 4 & = & \lg 16 \\ x & = & \frac{\lg 16}{\lg 4} \\ x & = & \frac{\lg 4^{2}}{\lg 4} \\ x & = & \frac{2 \lg 4}{\lg 4} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løysing 2

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 16 \\ 4^{x} & = & 4^{2} \\ x & = & 2 \end{array}$

b) $3^{3 x} = 9$

Løysing 1

$\begin{array}{rcl} 3^{3 x} & = & 9 \\ \ln 3^{3 x} & = & \ln 9 \\ 3 x \ln 3 & = & \ln 3^{2} \\ 3 x & = & \frac{\ln 3^{2}}{\ln 3} \\ 3 x & = & \frac{2 \ln 3}{\ln 3} \\ 3 x & = & 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$

Løysing 2

$\begin{array}{rcl} 3^{3 x} & = & 9 \\ 3^{3 x} & = & 3^{2} \\ 3 x & = & 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$

c) $10^{x} = 55$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 10^{x} & = & 55 \\ \lg 10^{x} & = & \lg 55 \\ x \cdot \lg 10 & = & \lg 55 \\ x & = & \lg 55 \end{array}$

d) $10^{- 2 x} = 100$

Løysing 1

$\begin{array}{rcl} 10^{- 2 x} & = & 100 \\ \lg 10^{- 2 x} & = & \lg 100 \\ - 2 x \lg 10 & = & \lg 100 \\ - 2 x \lg 10 & = & \lg 10^{2} \\ - 2 x \lg 10 & = & 2 \cdot \lg 10 \\ - 2 x & = & 2 \\ x & = & - 1 \end{array}$

Løysing 2

$\begin{array}{rcl} 10^{- 2 x} & = & 100 \\ 10^{- 2 x} & = & 10^{2} \\ - 2 x & = & 2 \\ x & = & - 1 \end{array}$

e) $4^{x} = 32$

Løysing 1

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 32 \\ \ln 4^{x} & = & \ln 32 \\ x \ln 4 & = & \ln 32 \\ x & = & \frac{\ln 32}{\ln 4} \\ x & = & \frac{\ln 2^{5}}{\ln 2^{2}} \\ x & = & \frac{5 \ln 2}{2 \ln 2} \\ x & = & \frac{5}{2} \end{array}$

Løysing 2

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 32 \\ 4^{x} & = & 4 \cdot 4 \cdot 2 \\ {(2^{2})}^{x} & = & 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ 2^{2 x} & = & 2^{5} \\ 2 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{2} \end{array}$

Oppgåve 2

Løys likningane ved rekning for hand.

a) $2,0 \cdot 0, 5^{x} = 13$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2, 0 \cdot 0, 5^{x} & = & 13 \\ 0, 5^{x} & = & 6, 5 \\ \lg 0, 5^{x} & = & \lg 6, 5 \\ x \lg 0, 5 & = & \lg 6, 5 \\ x & = & \frac{\lg 6, 5}{\lg 0, 5} \end{array}$

b) $5^{2 x} = 25$

Løysing 1

$\begin{array}{rcl} 5^{2 x} & = & 25 \\ \ln (5^{2 x}) & = & \ln 25 \\ 2 x \ln 5 & = & \ln 5^{2} \\ 2 x \ln 5 & = & 2 \ln 5 \\ \frac{2 x \ln 5}{\ln 5} & = & \frac{2 \ln 5}{\ln 5} \\ 2 x & = & 2 \\ x & = & 1 \end{array}$

Løysing 2

$\begin{array}{rcl} 5^{2 x} & = & 25 \\ 5^{2 x} & = & 5^{2} \\ 2 x & = & 2 \\ x & = & 1 \end{array}$

c) $2^{x + 1} = 4$

Løysing 1

$\begin{array}{rcl} 2^{x + 1} & = & 4 \\ \ln 2^{x + 1} & = & \ln 2^{2} \\ (x + 1) \cdot \ln 2 & = & 2 \ln 2 \\ x + 1 & = & \frac{2 \ln 2}{\ln 2} \\ x & = & 2 - 1 \\ x & = & 1 \end{array}$

Løysing 2

$\begin{array}{rcl} 2^{x + 1} & = & 4 \\ 2^{x + 1} & = & 2^{2} \\ x + 1 & = & 2 \\ x & = & 1 \end{array}$

d) $3^{x + 1} - 11 = 70$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3^{x + 1} - 11 & = & 70 \\ 3^{x + 1} & = & 81 81 = 3^{4} \\ 3^{x + 1} & = & 3^{4} \\ x + 1 & = & 4 \\ x & = & 3 \end{array}$

e) $\frac{2^{2 x}}{2^{x - 1}} = 32$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{2^{2 x}}{2^{x - 1}} & = & 32 \\ 2^{2 x - (x - 1)} & = & 2^{5} \\ 2^{x + 1} & = & 2^{5} \\ x + 1 & = & 5 \\ x & = & 4 \end{array}$

Oppgåve 3

Finn feilen i løysingsforslaga under, og løys oppgåvene.

$\begin{array}{rcl} 4^{2 x} & = & 16^{2 x - 6} 16 = 4^{2} \\ 4^{2 x} & = & (4^{2})^{2 x - 6} \\ 4^{2 x} & = & 4^{2 + 2 x - 6} \\ 2 x & = & - 4 + 2 x \\ 2 x + 2 x & = & - 4 \\ 4 x & = & - 4 \\ x & = & - 1 \end{array}$

Løysing

Første feil:

$\begin{array}{rcl} 4^{2 x} & = & 16^{2 x - 6} 16 = 4^{2} \\ 4^{2 x} & = & (4^{2})^{2 x - 6} \\ 4^{2 x} & = & 4^{2 + 2 x - 6} \end{array}$

$2$ må multipliserast med resten av eksponenten slik at $2 \cdot (2 x - 6) = 4 x - 12$ .

Andre feil:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 + 2 x \\ 2 x + 2 x & = & 4 \end{array}$

Vi får $2 x - 2 x$ på venstre side.

Nytt løysingsforslag:

$\begin{array}{rcl} 4^{2 x} & = & 16^{2 x - 6} 16 = 4^{2} \\ 4^{2 x} & = & (4^{2})^{2 x - 6} \\ 4^{2 x} & = & 4^{2 \cdot (2 x - 6)} \\ 4^{2 x} & = & 4^{4 x - 12} \\ 2 x & = & 4 x - 12 \\ 2 x - 4 x & = & - 12 \\ \frac{- 2 x}{- 2} & = & \frac{- 12}{- 2} \\ x & = & 6 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2 e^{2 x - 3} & = & 18 \\ e^{2 x - 3} & = & 9 \\ \ln e^{2 x - 3} & = & 9 \ln e = 1 \\ 2 x - 3 & = & 9 \\ 2 x & = & 9 + 3 \\ \frac{2 x}{2} & = & \frac{12}{2} \\ x & = & 6 \end{array}$

Løysing

Feil:

$\ln e^{2 x - 3} = 9$

Vi må hugse å bruke ln på begge sider av likninga.

Nytt løysingsforslag:

$\begin{array}{rcl} 2 e^{2 x - 3} & = & 18 \\ e^{2 x - 3} & = & 9 \\ \ln e^{2 x - 3} & = & \ln 9 \ln e = 1 \\ 2 x - 3 & = & \ln 9 \\ 2 x & = & \ln 3^{2} + 3 \\ \frac{2 x}{2} & = & \frac{2 \ln 3 + 3}{2} \\ x & = & \frac{2 \ln 3 + 3}{2} = \ln 3 + \frac{3}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 5^{2} \cdot 5^{4 n} & = & 5^{10} \\ 2 \cdot 4 n & = & 10 \\ 8 n & = & 10 \\ \frac{8 n}{8} & = & \frac{10}{8} \\ n & = & \frac{5}{4} \end{array}$

Løysing

Feil:

$\begin{array}{rcl} 5^{2} \cdot 5^{4 n} & = & 5^{10} \\ 2 \cdot 4 n & = & 10 \end{array}$

Eksponentane på venstre side skal adderast, ikkje multipliserast.

Nytt løysingsforslag:

$\begin{array}{rcl} 5^{2} \cdot 5^{4 n} & = & 5^{10} \\ 5^{2 + 4 n} & = & 5^{10} \\ 2 + 4 n & = & 10 \\ 4 n & = & 8 \\ n & = & \frac{8}{4} \\ n & = & 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} -2 \cdot 10^{2 x} & = & - 140 \\ \frac{-2 \cdot 10^{2 x}}{- 2} & = & \frac{- 140}{- 2} \\ 10^{2 x} & = & 70 \\ \lg 10^{2 x} & = & \lg 70 \\ 2 x & = & \lg 70 \\ x & = & \lg (\frac{70}{2}) \\ x & = & \lg 35 \end{array}$

Løysing

Feil:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \lg 70 \\ x & = & \lg (\frac{70}{2}) \end{array}$

Det er $\lg 70$ som skal delast på 2, ikkje 70.

Nytt løysingsforslag:

$\begin{array}{rcl} -2 \cdot 10^{2 x} & = & - 140 \\ \frac{-2 \cdot 10^{2 x}}{- 2} & = & \frac{- 140}{- 2} \\ 10^{2 x} & = & 70 \\ \lg 10^{2 x} & = & \lg 70 \\ 2 x & = & \lg 70 \\ x & = & \frac{\lg 70}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{980}{10^{2 x} - 2} & = & 10 \\ 980 & = & 10 (10^{2 x} - 2) \\ 98 & = & 10^{2 x} - 2 \\ \lg 98 & = & \lg 10^{2 x} - \lg 2 \\ \lg 98 & = & 2 x - \lg 2 \\ \frac{\lg 98 - \lg 2}{2} & = & \frac{2 x}{2} \\ x & = & \frac{\lg \frac{98}{2}}{2} \\ x & = & \frac{\lg 49}{2} \end{array}$

Løysing

Feil:

$\begin{array}{rcl} 98 & = & 10^{2 x} - 2 \\ \lg 98 & = & \lg 10^{2 x} - \lg 2 \end{array}$

Det blir feil å ta logaritmen til kvart ledd på høgre side. Vi flyttar heller 2 over på venstre side.

Nytt løysingsforslag:

$\begin{array}{rcl} \frac{980}{10^{2 x} - 2} & = & 10 \\ 980 & = & 10 (10^{2 x} - 2) \\ 98 & = & 10^{2 x} - 2 \\ 100 & = & 10^{2 x} \\ 10^{2} & = & 10^{2 x} \\ 2 & = & 2 x \\ x & = & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{x^{2} - 2 x} & = & 4^{4} 4 = 2^{2} \\ 2^{x^{2} - 2 x} & = & (2^{2})^{4} \\ 2^{x^{2} - 2 x} & = & 2^{8} \\ x^{2} - 2 x & = & 8 \\ x (x - 2) & = & 8 \\ x & = & 8 \lor x - 2 = 8 \\ x & = & 8 \lor x = 10 \end{array}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x & = & 8 \\ x (x - 2) & = & 8 \\ x = 8 & \lor & x - 2 = 8 \end{array}$

Produktregelen krev at det står 0 på høgre side.

Nytt løysingsforslag:

$\begin{array}{rcl} 2^{x^{2} - 2 x} & = & 4^{4} 4 = 2^{2} \\ 2^{x^{2} - 2 x} & = & (2^{2})^{4} \\ x^{2} - 2 x & = & 8 \\ x^{2} - 2 x - 8 & = & 0 \\ (x + 2) (x - 4) & = & 0 \\ x & = & - 2 \lor x = 4 \end{array}$

Oppgåve 4

Miriam kjøpte ein skuter for 10 000 kroner i byrjinga av 2020. Vi reknar med at verdien søkk med 15 prosent per år. Vi kan då skrive verdien om x år som

$S (x) = 10 000 \cdot 0, 85^{x}$

a) Set opp ei likning som viser kor lang tid det tek til verdien på skuteren er redusert med 50 prosent.

Løysing

$10 000 \cdot 0, 85^{x} = 5 000$

b) Bruk logaritmar til å rekne ut uttrykket i a).

Løysing

$\begin{array}{rcl} 0, 85^{x} & = & \frac{5 000}{10 000} \\ \lg 0, 85^{x} & = & \lg 0, 5 \\ x \lg 0, 85 & = & \lg 0, 5 \\ x & = & \frac{\lg 0, 5}{\lg 0, 85} \\ x & \approx & 4, 27 \end{array}$

Oppgåve 5

Temperaturen i eit kjøleskap dei første timane etter eit straumbrot er gitt ved

$T (x) = 3 + 1, 15^{x}$

der x er talet på timar etter straumbrotet.

a) Kva var temperaturen i kjøleskapet ved straumbrotet?

Løysing

Når straumbrotet skjer, er $x = 0$ . Vi set inn i 0 uttrykket og får $T (0) = 3 + 1 . 15^{0} = 3 + 1 = 4$ .

Temperaturen i kjøleskapet ved straumbrotet var 4°C.

b) Bruk logaritmar til å rekne ut kor lang tid det går før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader.

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 + 1, 15^{x} & = & 10 \\ 1, 15^{x} & = & 7 \\ \lg 1, 15^{x} & = & \lg 7 \\ x \lg 1, 15 & = & \lg 7 \\ x & = & \frac{\lg 7}{\lg 1, 15} \\ x & \approx & 13, 92 \end{array}$

c) Teikn grafen til T. La x variere mellom 0 og 20. Løys oppgåva i b) grafisk.

Løysing

Vi teiknar linja $y = 10$ .

Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til T med kommandoen "Skjering mellom to objekt". Sjå punkt A på grafen.

Det tek litt mindre enn 14 timar før det er 10 grader i kjøleskapet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 3 pluss 1,55 opphøgd i x er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 20. Linja y er lik 10 er også teikna, og skjeringspunktet mellom linja og grafen til S er markert og har koordinatane 13,92 og 10. Skjermutklipp. — Graf som viser korleis temperaturen i eit kjøleskap kan stige ved eit straumbrot.

d) Bruk logaritmar til å rekne ut kor lang tid det vil ta før temperaturen i kjøleskapet er 16 grader.

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 + 1, 15^{x} & = & 16 \\ 1, 15^{x} & = & 13 \\ x \lg 1, 15 & = & \lg 13 \\ x & = & \frac{\lg 13}{\lg 1, 15} \\ x & \approx & 18, 35 \end{array}$

Det vil ta noko over 17 timar før temperaturen i kjøleskapet er 16 grader.

e) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom straumen er borte over ein lengre periode (i meir enn eitt døgn)? Grunngi svaret ditt.

Løysing

Vi kan setje x lik til dømes 24 og 30 timar, og vi finn temperaturen i kjøleskapet:

$T (24) = 31, 63$

$T (30) = 69, 21$

Ut frå denne modellen vil temperaturen stige kraftig etter eitt døgn, noko som er lite sannsynleg. Vi går ut frå at temperaturen i eit kjøleskap utan straum vil nærme seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk å bruke dersom straumbrotet varer over ein lengre periode.

Oppgåve 6

a) Vi går ut frå at hummarbestanden aukar med 2,5 prosent i året. Kor mange år tek det før bestanden er dobla?

Løysing

Vi bruker bokstaven H som teikn for hummarbestanden. Vi bruker $2 \cdot H$ for å vise at hummarbestanden er dobla.

Kva er vekstfaktoren for noko som aukar med 2,5 prosent?

$100 % + 2, 5 % = 102, 5 % = 1, 025$

Vi får formelen:

$\begin{array}{rcl} H \cdot 1, 025^{x} & = & 2 H \\ 1, 025^{x} & = & 2 \\ \lg 1, 025^{x} & = & \lg 2 \\ x \cdot \lg 1, 025 & = & \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 2}{\lg 1, 025} \\ x & \approx & 28, 07 \end{array}$

Det tek litt over 28 år før hummarbestanden er dobla.

b) I 2017 vart det fanga 454 000 humrar, og i 2018 var fangsten gått ned til 322 000 humrar. Det er mange årsaker til at det vart fanga færre humrar i 2018, men kor mange prosent minka hummarfangsten med i denne perioden?

Løysing

$\begin{array}{rcl} x \cdot 454 000 & = & 322 000 \\ x & = & \frac{322 000}{454 000} \\ x & = & 0, 71 \end{array}$

Hummarfangsten minka med 29 prosent frå 2017 til 2018.

c) Når er fangsten nede i 5 000 humrar viss utviklinga held fram i det same tempoet som i b)?

Løysing

Vi kan starte i 2018 med 322 000 humrar:

$\begin{array}{rcl} 322 000 \cdot 0, 71^{x} & = & 5 000 \\ 0, 71^{x} & = & \frac{5 000}{322 000} \\ 0, 71^{x} & = & 0, 016 \\ \lg 0, 71^{x} & = & \lg 0, 016 \\ \frac{x \cdot \lg 0, 71}{\lg 0, 71} & = & \frac{\lg 0, 016}{\lg 0, 71} \\ x & = & 12, 07 \end{array}$

Hummarfangsten vil vere nede i 5 000 humrar i 2030 viss han minkar med 29 prosent kvart år.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Eksponentiallikningar(DOCX)
Eksponentiallikningar(PDF)