Fagstoff

Logaritmelikningar

Logaritmelikningar er likningar som inneheld logaritmen til den ukjende. I slike likningar må vi ofte bruke dei tre logaritmesetningane både «forlengs» og «baklengs». Etter kvart finn vi ein verdi for logaritmen til den ukjende eller ein funksjon av den ukjende.

Dersom vi finn at $\lg x = 2$ og oppgåva vår er å finne x, utnytter vi det faktum at dersom to uttrykk er like, så er 10 opphøgd i uttrykka også like. Vidare bruker vi definisjonen på logaritmer for å finne den ukjende.

Vi må også alltid hugse at vi berre kan finne logaritmar til positive tal!

Eksempel 1

Utrekning	Forklaring
$\lg x = 2$	Vi ser her at $x$ må vere større enn 0.
$10^{\lg x} = 10^{2}$	To tiarpotensar med like eksponentar er like.
$x = 100$	Vi bruker definisjonen på logaritme og forenklar venstre side.

Løysinga kan brukast sidan 100 er større enn 0.

Eksempel 2

Utrekning	Forklaring
$\lg x^{2} + 2 \lg x - 2 = 0$	$x$ må vere større enn 0. Vi bruker tredje logaritmesetning.
$2 \lg x + 2 \lg x = 2$	Vi samlar ledda med $x$ på venstre siden.
$4 \lg x = 2$	Vi trekk saman.
$\begin{array}{rcc} \lg x & = & \frac{2}{4} \end{array}$	Vi dividerer for å få $\lg x$ åleine på venstre side.
$\begin{array}{rcc} 10^{\lg x} & = & 10^{\frac{1}{2}} \end{array}$	To tiarpotensar med like eksponentar er like.
$x = \sqrt{10}$	Vi bruker definisjonen på logaritme og forenklar venstre side.

Løysinga kan brukast sidan $\sqrt{10}$ er større enn 0.

Eksempel 3

Utrekning	Forklaring
$\lg (x + 2) - \lg (2) = 2$	$x$ må vere større enn $- 2$ .
$\lg (\frac{x + 2}{2}) = 2$	Vi bruker andre logaritmesetning baklengs.
$10^{\lg (\frac{x + 2}{2})} = 10^{2}$	To tiarpotensar med like eksponentar er like.
$\frac{x + 2}{2} = 10^{2}$	Vi bruker definisjonen på logaritme og forenklar venstre side.
$x = 200 - 2$
$x = 198$

Løysinga kan brukast sidan 198 er større enn −2.

Eksempel 4

Utregning	Forklaring
$\begin{array}{rcc} \lg x + \lg (5 - x) & = & \lg 6 \end{array}$	$x$ må vere større enn 0 og mindre enn 5.
$\begin{array}{rcc} \lg (x \cdot (5 - x)) & = & \lg 6 \end{array}$	Vi bruker første logaritmesetning baklengs.
$\begin{array}{rcc} 10^{\lg (x \cdot (5 - x))} & = & 10^{\lg 6} \end{array}$	To tiarpotensar med like eksponentar er like.
$x \cdot (5 - x) = 6$	Vi bruker definisjonen på logaritme og forenklar.
$5 x - x^{2} = 6$
$- x^{2} + 5 x - 6 = 0$
$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$
$x_{1} = 2 \lor x_{2} = 3$

Begge løysingane kan brukast sidan begge ligg mellom 0 og 5.