Fag

Fagstoff

Video

Eksponentiallikningar

Korleis løyser vi likningar av typen aˣ = b?

Kva er ei eksponentiallikning?

Likningar med potensuttrykk der eksponenten er ukjend, kallar vi eksponentiallikningar. Vi kan bruke logaritmesetningane til å løyse slike likningar.

Gitt eksponentiallikninga

$a^{x} = b$

Sidan logaritmen til to like tal er like, er

$\lg a^{x} = \lg b$

Tredje logaritmesetning gir då at

$x \lg a = \lg b$

Det gir løysinga på eksponentiallikninga:

$x = \frac{\lg b}{\lg a}$

Her kan vi òg like gjerne bruke den naturlege logaritmen.

Døme 1

Vi skal løyse likninga

$2^{3 x - 1} = 16$

Vi løyser likninga ved å bruke logaritmesetningane:

$\begin{array}{rcl} \lg (2^{3 x - 1}) & = & \lg 16 \\ (3 x - 1) lg2 & = & {lg2}^{4} \\ 3 x - 1 & = & \frac{4 lg2}{lg2} \\ 3 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{3} \end{array}$

Døme 2

Fire norske tohundrelappar. Foto.

Anne har plassert 1 000 kroner på ein konto i banken. Kor lenge må pengane stå i banken før beløpet er fordobla dersom ho får ei rente på 6,0 prosent per år?

Vi finn vekstfaktoren først.

$100 % + 6 % = 106 % = 1, 06$

Vi kan då setje opp følgjande likning der x er tida pengane må stå i banken:

$1 000 \cdot 1, 06^{x} = 2 \cdot 1 000$

Vi prøver å løyse likninga ved å bruke logaritmesetningane.

$\begin{array}{rcl} 1 000 \cdot 1, 06^{x} & = & 2 \cdot 1 000 \\ 1, 06^{x} & = & \frac{2 000}{1 000} \\ 1, 06^{x} & = & 2 \\ \lg 1, 06^{x} & = & \lg 2 \\ x \cdot \lg 1, 06 & = & \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 2}{\lg 1, 06} \end{array}$

Her må vi bruke eit digitalt verktøy, eller ein logaritmetabell, for å få ein tilnærma verdi. I praktiske oppgåver løyser vi derfor eksponentiallikningar i eit CAS-verktøy.

CAS-løysing med GeoGebra. På linje 1 er det skrive inn 1000 multiplisert med 1,06 opphøgd i x er lik 2000. Svaret med N Løys er x er lik 11,9. Skjermutklipp.

Med CAS i GeoGebra får vi det tilnærma svaret 11,9 som løysing på likninga.

Pengane må altså stå i omtrent 12 år i banken før beløpet er fordobla.

Grafisk løysing av eksponentiallikninga i dømet med GeoGebra. Grafen til funksjonen f av x er lik 1000 multiplisert med 1,06 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 16. Linja y er lik 2000 er også teikna. Skjeringspunktet mellom linja og grafen til f er markert og har koordinatane 11,9 og 2000. Skjermutklipp.

Vi kan òg løyse likninga grafisk. I koordinatsystemet har vi teikna grafen til funksjonen f gitt ved $f (x) = 1 000 \cdot 1, 06^{x}$ og linja $y = 2 000$ og løyst likninga $f (x) = 2 000$ grafisk.

I den første og den andre videoen nedst på sida får du ein gjennomgang av dette dømet.

Døme 3

Vi går ut frå at innbyggjartalet i Småby veks med 1,5 prosent kvart år. Det bur i dag 13 000 personar i Småby. Kor mange år går det før innbyggjartalet er 15 000?

Vi finn først vekstfaktoren.

$100 % + 1, 5 % = 101, 5 % = 1, 015$

Så set vi opp og løyser likninga $13 000 \cdot 1, 015^{x} = 15 000$ med CAS i GeoGebra.

CAS-løysing med GeoGebra. På linje 1 er det skrive inn 13000 multiplisert med 1,015 opphøgd i x er lik 15000. Svaret med N Løys er x er lik 9,61. Skjermutklipp.

Innbyggjartalet vil vere 15 000 om snaue 10 år.

Døme 4

Bruktbilar med prislapp i frontrutene. Foto.

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 prosent kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.

Vekstfaktoren blir

$100 % - 10 % = 90 % = 0, 90$

Verdien av bilen, $V (x)$ , x talet på år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved

$V (x) = 200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Grafisk løysing av eksponentiallikninga i dømet med GeoGebra. Grafen til funksjonen V av x er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 13. Linja y er lik 100000 er òg teikna. Punktet på grafen til V med x-koordinat minus 4 har y-koordinat 304831,58. Skjeringspunktet mellom linja og grafen til V er markert og har koordinatane 6,58 og 100000. Skjermutklipp.

Av grafen til V kan vi lese at verdien av bilen vil ha sokke til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesing på grafen viser òg at verdien av bilen for 4 år sidan, det vil seie når $x = - 4$ , altså då han var ny, var nærare 305 000 kroner.

Vi skal òg sjå korleis vi kan rekne ut dette med CAS i GeoGebra.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive V av x kolon er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøgd i x. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive V av x er lik 100000. Svaret med Løys er l n 2 delt på parentes l n 2 pluss l n 5 minus l n 9 parentes slutt. På linje 3 er det skrive dollarteikn 2. Svaret med tilnærming er x er lik 6,58. På linje 4 er det skrive V av minus 4. Svaret med tilnærming er 304831,58. Skjermutklipp.

På linje 1 skriv vi inn funksjonen $V (x)$ . Så reknar vi ut kor lang tid det går før verdien av bilen har sokke til 100 000 kroner ved å løyse likninga $V (x) = 100 000$ . Vi løyser likninga eksakt med "Løys" først og trykkjer på knappen "tilnærma lik" etterpå for å få svaret i linje 2 som eit enkelt tal.

Til slutt på linje 4 reknar vi ut kor mykje bilen var verd for 4 år sidan.

Vi får det same svaret som vi fann grafisk.

I døme 5 skal vi sjå litt på ei annleis eksponentiallikning.

Døme 5

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3^{x} & = & 3 \cdot 4^{x} \\ \lg (2 \cdot 3^{x}) & = & \lg (3 \cdot 4^{x}) \\ \lg 2 + \lg 3^{x} & = & \lg 3 + \lg 4^{x} \\ \lg 2 + x \cdot \lg 3 & = & \lg 3 + x \cdot \lg 4 \\ x \cdot \lg 3 - x \cdot \lg 4 & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x (\lg 3 - \lg 4) & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 3 - \lg 2}{\lg 3 - \lg 4} \end{array}$

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte vere greitt når vi arbeider med teoretiske problemstillingar.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 2 multiplisert med 3 opphøgd i x er lik 3 multiplisert med 4 opphøgd i x. Svaret med Løys er x er lik parentes l n 2 minus l n 3 parentes slutt delt på parentes 2 l n 2 minus l n 3 parentes slutt. På linje 3 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 1,41. Skjermutklipp. — Eksakt og tilnærma løysing på eksponentiallikninga i dømet

I praktiske oppgåver som døma 2, 3 og 4, er det vanleg å bruke tilnærmingsverdiar. Utklippet frå CAS i GeoGebra viser korleis vi først løyser likninga eksakt og deretter finn tilnærmingsverdien ved å trykkje på knappen "tilnærma lik", eller skriv $1 på linja under den eksakte løysinga. (Kva betyr det?) Legg merke til at GeoGebra bruker den naturlege logaritmen "ln" i staden for den briggske logaritmen "lg". Det kunne vi òg gjort då vi rekna ut svaret manuelt over.

🤔Tenk over: Det er to andre forskjellar òg mellom svaret med den manuelle, eksakte utrekninga og det eksakte svaret med CAS. Kva er forskjellane?

Forklaring

Rekkjefølgja på ledda i teljar og nemner i brøken er bytt om. Kvifor speler ikkje det noka rolle?
I CAS-løysinga er $\ln 4$ gjort om til $2 \ln 2$ . Vis at dei to uttrykka er det same.

Døme 6

Nokre likningar inneheld fleire ledd med potensuttrykk, som til dømes

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Kva slags likning er dette, og korleis kan vi løyse denne manuelt?

Vi ser at i likninga inngår både 3 opphøgd i 2x og 3 opphøgd i x. Frå potensrekninga veit vi at $3^{2 x} = {(3^{x})}^{2}$ . Likninga vår kan då skrivast som

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Vi kallar no $3^{x}$ for u. Likninga blir då

$u^{2} - 4 \cdot u - 12 = 0$

No ser vi at vi har ei andregradslikning med u som den ukjende.

Ei jente som tenkjer. Foto.

Andregradslikninga har løysinga

$\begin{array}{rcl} u^{2} - 4 \cdot u - 12 & = & 0 \\ u & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1} \\ u & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \\ u & = & - 2 \lor u = 6 \end{array}$

Vi byrja med å setje $3^{x} = u$ . Når vi no har funne at $u = - 2$ eller $u = 6$ , må det bety at $3^{x} = - 2$ eller $3^{x} = 6$ .

Løysinga $3^{x} = - 2$ gir inga meining sidan potensen $3^{x}$ alltid er positiv.

Løysinga blir

$3^{x} = 6 \Rightarrow x = \frac{\lg 6}{\lg 3} \approx 1, 6$

Her kunne vi òg ha oppgitt svaret på eksakt form som $x = \frac{\lg 6}{\lg 3}$ .

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å setje $u = u (x)$ , for å få ei enklare likning. Når vi har løyst denne og funne u, må vi gå tilbake og finne x. Vanlegvis vil vi løyse slike likningar med CAS, men det er viktig å kjenne til denne løysingsteknikken.

I den tredje videoen nedanfor får du ein gjennomgang av dette dømet.

Film: Eksponentiallikninger 1

I filmen under (lengde 3:49) får du ein gjennomgang av første del av døme 2.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film: Eksponentiallikninger 2

I filmen under (lengde 2:24) får du ein gjennomgang av døme 2 løyst med GeoGebra. NB! Filmen viser ein gammal versjon av GeoGebra.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film: Eksponentiallikninger 3

I filmen under (lengde 3:34) får du ein gjennomgang av døme 6.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0