Faktorisering av andregradsuttrykk

Å faktorisere et uttrykk vil si å skrive uttrykket som et produkt av faktorer. Vi kan for eksempel skrive tallet 6 som produktet av 2 og 3 siden $$ 2·3=6$$. Et eksempel på et andregradsuttrykk som skrives som et produkt av faktorer, er $$ (x+3)(3x-4)$$. Uttrykket er skrevet som ett ledd, men vi ser at hver av faktorene inneholder to ledd. Hvis vi regner ut og trekker sammen uttrykket, får vi et andregradsuttrykk på den generelle formen $$ a{x}^2+bx+c$$. Her skal vi lære ulike metoder for å gå fra den generelle formen til en faktorisert form.

Hvis uttrykket vi skal faktorisere kun har ett ledd, faktoriserer vi ved å skille ut to eller flere enkeltfaktorer. Vi kan ofte faktorisere et ledd på flere ulike måter, for eksempel kan tallet 12 skrives både som $$ 2·6$$ og som $$ 3·4$$. Ofte kan det være lurt å faktorisere så mye som mulig for å se alle mulighetene.

Eksempel

Vi skal faktorisere uttrykket $$ 36a{\left(ab\right)}^2$$. Hvis vi skal faktorisere så mye som mulig, får vi

$$ 36a{\left(ab\right)}^2=2·2·3·3·a·a·b·a·b=2·2·3·3·a·a·a·b·b$$

Det er mange ulike måter å faktorisere flerleddede uttrykk på. Vi begynner her med noen metoder du kanskje kan fra før, før vi går videre.

Uttrykk med felles faktorer i alle ledd

For uttrykk som inneholder flere ledd med felles faktorer, kan vi "gå motsatt vei" av det vi gjør når vi multipliserer et tall med et parentesuttrykk. Det betyr at hvis alle leddene i uttrykket inneholder samme faktor, kan vi sette denne felles faktoren utenfor parentes. Det kan lønne seg å begynne med å faktorisere hvert ledd så langt som mulig først. Etter hvert vil du kunne se direkte hva som er felles faktorer.

Eksempler

$$ \begin{array}{rcl}2x^4-12x^2 & =& 2·x·x·x·x-2·2·3·x·x\\ & =& 2·x·x\left(x·x-2·3\right)\\ & =& 2x^2\left(x^2-6\right)\end{array}$$

Uttrykket er nå faktorisert til ett ledd og består av produktet av faktorene $$ 2, x^2$$ og $$ (x^2-6)$$.

Vi kan kontrollere at faktoriseringen er riktig ved å multiplisere faktorene:

$$ 2x^2\left(x^2-6\right)=2x^2·x^2-2x^2·6=2x^4-12x^2$$

Vi får tilbake det opprinnelige uttrykket.

Pass på hvis du setter et negativt tall utenfor en parentes. Da må du skifte fortegn inne i parentesen, slik som i det neste eksempelet:

$$ -2x^3-4x=-2x\left(x^2+2\right)$$

Det som skjer matematisk, er at vi har $$ -1$$ som faktor, og hele denne faktoren, med fortegnet, setter du utenfor parentesen:

$$ \begin{array}{rcl}-2x^3-4x & =& (-1)·2·x·x·x+(-1)·2·2·x\\ & =& (-1)·2·x\left(x·x+2\right)\\ & =& -2x\left(x^2+2\right)\end{array}$$

Et uttrykk som kan skrives på formen $a{x}^2+bx+c$ der $a\ne 0$, kalles et andregradsuttrykk.

Et eksempel på et andregradsuttrykk er $x^2+4x-5$. Leddet $x^2$ kalles andregradsleddet, og her er $$ a=1.$$ $4x$ kalles førstegradsleddet, og $b=4$. $-5$ kalles konstantleddet, og $c=-5$.

Et andregradsuttrykk inneholder alltid et andregradsledd, det vil si at vi må ha at koeffisienten $a\ne 0$. I de andre leddene kan koeffisientene, det vil si b og/eller c, være lik 0 slik at førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle. To eksempler på det siste er $$ x^2+4$$ og $$ 3x^2+2x$$.

Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, har vi ulike framgangsmåter ut fra hvordan uttrykket vårt ser ut. Vi viser noen eksempler.

Når konstantleddet mangler

Når konstantleddet mangler, får vi et uttrykk på formen $$ a{x}^2+bx$$. Da vil faktoren x forekomme i begge ledd, og vi kan sette x utenfor parentesen slik vi gjorde over:

$2x^2-6x=2x\left(x-3\right)$

Når førstegradsleddet mangler

Hvis $$ b=0$$, får vi et uttrykk på formen $$ a{x}^2+c$$. Hvis $$ c<0$$, kan vi faktorisere ved hjelp av konjugatsetningen: $$ (\mathrm{a}+b)(a-b)=a^2-b^2$$.

Eksempler

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4 & =& x^2-2^2 = \left(x+2\right)\left(x-2\right)\\ 4x^2-25 & =& {\left(2x\right)}^2-5^2 = \left(2x+5\right)\left(2x-5\right)\\ -2x^2+18 & =& -2\left(x^2-9\right)=-2\left(x+3\right)\left(x-3\right)\\ x^2-3 & =& x^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\\ {\left(x+1\right)}^2-9 & =& {\left(x+1\right)}^2-3^2=\left(x+1+3\right)\left(x+1-3\right)=\left(x+4\right)\left(x-2\right)\end{array}$$

🤔 Tenk over: Vi kan bruke konjugatsetningen når konstantleddet, c, er negativt. Kan vi faktorisere uttrykket hvis c er positiv?

Når vi kan bruke kvadratsetningene

Noen uttrykk er enkle å faktorisere fordi vi kan kjenne dem igjen som fullstendige kvadrater, det vil si uttrykk som kan faktoriseres med to like faktorer. Her kan vi bruke kvadratsetningene baklengs.

Vi har at $$ {\left(a+b\right)}^2 = a^2+2ab+b^2$$, og at $$ {\left(a-b\right)}^2 = a^2-2ab+b^2$$.

Vi ser nå på uttrykket $$ x^2+6x+9$$. Vi legger merke til at førstegradsleddet er et partall, og at konstantleddet er et kvadrattall. Vi kan skrive om uttrykket og kjenne igjen en kvadratsetning:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+6x+9 & =& x^2+2·3x+3^2\\ & =& x^2+3x+3x+3^2\\ & =& {\left(x+3\right)}^2\end{array}$$

Ved hjelp av "stirremetoden"

Veldig mange andregradsuttrykk kan faktoriseres nokså enkelt selv om vi ikke kan bruke noen av metodene over. Her på NDLA har vi valgt å kalle dette for "stirremetoden", andre kjenner den kanskje som "ostehullsmetoden", "heltallsmetoden" eller et helt annet navn. Uansett hva vi velger å kalle den, er det viktig å vite at det ikke er noe magisk eller mystisk som skjer, vi ser ("stirrer") på uttrykket og leter rett og slett etter tall som kan passe i faktoriseringen.

Vi ser på det generelle uttrykket for andregradsuttrykk der $$ a=1$$, det vil si $$ x^2+bx+c$$. Hvordan kan vi få splittet dette opp i to faktorer, slik at vi får uttrykket på formen $$ \left(x+d\right)\left(x+e\right)$$?

Vi regner på uttrykket og får

$$ \left(x+d\right)\left(x+e\right)=x^2+ex+dx+ab = x^2+\left(d+e\right)x+de$$

Dette betyr at hvis $$ de=c$$ og $$ d+e=b$$, har vi at

$$ x^2+bx+c=\left(x+d\right)\left(x+e\right)$$

Eksempel 1

Vi ser på uttrykket $$ x^2+5x+6$$.

Vi må finne to tall, d og e, slik at $$ de=6$$ og $$ d+e=5$$. Det lønner seg å starte med å faktorisere konstantleddet. Her kan vi få flere ulike faktoriseringer:

$$ \begin{array}{rcl}6 & =& 2·3\\ & =& 1·6\\ & =& \left(-2\right)·(-3)\\ & =& (-1)·\left(-6\right)\end{array}$$

Den eneste mulige kombinasjonen for d og e av disse som gir $$ d+e=5$$, er $$ d=2$$ og $$ e=3$$ (eller omvendt). Det betyr at vi kan faktorisere uttrykket vårt:

$$ x^2+5x+6=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Eksempel 2

Vi skal faktorisere uttrykket$2x^2-8x-42$.

Først setter vi tallet 2 utenfor en parentes og får

$$ 2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)$$

Så kan vi faktorisere$x^2-4x-21$.

Vi har her flere kombinasjoner av to tall som gir produkt lik $-21$:

$$ \begin{array}{rcl}-21 & =& 3·\left(-7\right)\\ & =& \left(-3\right)·7\\ & =& \left(-1\right)·21\\ & =& 1·\left(-21\right)\end{array}$$

Det er bare $$ 3+\left(-7\right)$$ som er lik $-4$. Det betyr at

$$ 2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)=2\left(x+3\right)\left(x-7\right)$$

Faktorisering i GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan du faktorisere ved å klikke på knappen "Faktoriser" i verktøylinja eller ved å skrive kommandoen "Faktoriser".