Fullstendige kvadraters metode

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykkene $x^2-6x+9$ og $$ 4x^2+4x+1$$ fullstendige kvadrater fordi $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$ og $$ $ 4x^2+4x+1$ = {\left(2x+1\right)}^2$$.

Vi bruker ofte bokstavene a og b både i kvadratsetningene og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringen, så vi velger her å bruke andre bokstaver for enkelhelts skyld. Da får vi kvadratsetningene på følgende form:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(k+p\right)}^2 & =& k^2+2kp+p^2\\ {\left(k-p\right)}^2 & =& k^2-2kp+p^2\end{array}$$

Å gjenkjenne et fullstendig kvadrat

Det er ikke alltid så lett å se med en gang om et andregradsuttrykk på formen $$ a{x}^2+bx+c$$ er et fullstendig kvadrat. Vi kan gå fram trinnvis for å sjekke. Vi bruker uttrykket $x^2-6x+9$ som eksempel. Vi ser at det midterste leddet er negativt, så vi må sjekke om vi kan skrive det om til formen $$ {\left(k-p\right)}^2$$:

1. Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

2. Vi setter$$ k=\sqrt{x^2}=x$$ og $$ p=\sqrt{9}=3$$.

3. Vi må sjekke om det midterste leddet kan skrives som $$ 2kp$$. I dette tilfellet får vi at $$ 2kp=2·x·3=6x$$, noe som stemmer med kravet.

4. Kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, dermed har vi at
   
   $$ x^2-6x+9= {\left(k-p\right)}^2={\left(x-3\right)}^2$$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal sjekke om uttrykket $$ a{x}^2+bx+c$$ er et fullstendig kvadrat:

1. Vi sjekker om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

2. Vi setter$$ k=\sqrt{a{x}^2}=\sqrt{a}x$$ og $$ p=\sqrt{c} $$.

3. Vi sjekker om førstegradsleddet, bx , kan skrives som $$ 2kp = 2\sqrt{a}·x·\sqrt{c}=2\sqrt{ac}·x$$.

4. Hvis kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, har vi et fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:
   
   $$ a{x}^2+bx+c={\left(k+p\right)}^2$$

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater, men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage et fullstendig kvadrat av de to første leddene og så bruke konjugatsetningen. Det er som oftest enklere å bruke andre metoder for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som et grunnlag for å forstå mer om andregradsuttrykk, andregradslikninger og senere også likninger for sirkler og kuler.

Vi viser metoden ved å gå gjennom et eksempel.

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket$x^2+4x-5$, som ikke kan faktoriseres direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Vi legger først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om de to første leddene i uttrykket, $$ x^2+4x$$. Vi ønsker å finne ut hva vi må legge til for å få dette til å bli et fullstendig kvadrat. Dette kaller vi å fullføre kvadratet.

Vi setter $$ k=\sqrt{x^2}=x$$. Det neste leddet, $$ 4x$$, må da være lik $$ 2kp$$:

$\begin{array}{rcl}4x & =& 2kp \\ 4x & =& 2·x·p\\ p & =& 2\end{array}$

Dette betyr at vi må legge til $$ p^2=2^2=4$$ for å få et fullstendig kvadrat. Men hvis vi legger noe til, øker vi verdien på uttrykket vårt. Vi må derfor også trekke fra 4 for å beholde verdien slik den var:

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x-5& =& \underset{\mathrm{Fullstendig} \mathrm{kvadrat}}{\underbrace{x^2+4x+2^2}}-4-5\\ & =& {\left(x+2\right)}^2-9\end{array}$

Uttrykket $$ {\left(x+2\right)}^2-9$$ kan vi kjenne igjen som den høyre siden av konjugatsetningen. Vi bruker igjen bokstavene k og p:

$$ \left(k-p\right)\left(k+p\right)=k^2-p^2$$

Her får vi $$ k=\sqrt{{\left(x+2\right)}^2}=\left(x+2\right)$$ og $$ p=\sqrt{9}=3$$. Vi kan bruke dette til å faktorisere ferdig:

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x-5 & =& {\left(x+2\right)}^2-3^2\\ & =& \left(\left(x+2\right)+3\right)\left(\left(x+2\right)-3\right)\\ & =& \left(x+5\right)\left(x-1\right)\end{array}$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal faktorisere uttrykket $$ a{x}^2+bx+c$$ ved hjelp av fullstendige kvadraters metode:

1. Vi setter $$ k=\sqrt{a{x}^2}=\sqrt{a}x$$.

2. Så setter vi $$ bx = 2kp = 2\sqrt{a}x·p$$ og regner ut p.

3. Vi legger til $$ p^2$$ for å fullføre kvadratet og trekker fra $$ p^2$$ igjen.

4. Vi skriver de tre første leddene som $$ {\left(k+p\right)}^2$$og trekker sammen konstantleddene.

5. Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetningen.

🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til $$ x^2=1$$, finner vi enkelt $$ p^2$$ ved å dele koeffisienten b på 2 og opphøye dette tallet i 2. Kan du forklare det?