Sparing

Vekstfaktor og geometriske rekker

Tidligere har du jobbet med vekstfaktor. Dette skal vi nå ta med oss når vi skal regne ut hvordan en sparekonto utvikler seg over tid.

Sparing over flere år

Vi starter med å se på et tilfelle der vi setter inn 8 000 kroner på en sparekonto. Vi lar pengene stå i 4 år med 3 prosent rente, noe som gir en vekstfaktor på 1,03. Vi kan regne ut hvor mye dette har vokst til om 4 år:

$8 000 ·1,{03}^4=9 004$

Hva skjer hvis vi setter inn 8 000 kroner på denne kontoen hvert år? Hva står det da på kontoen om 4 år? Det første beløpet vi setter inn, vil forrente seg i 4 år, som vi så over. Det andre beløpet vi setter inn, vil forrente seg i 3 år og så videre. Vi skaffer oss oversikt i en tabell:

Legg merke til at det siste beløpet vi setter inn, ikke rekker å forrente seg i det hele tatt.

Hvis vi nå skal finne ut hvor mye som står på kontoen, legger vi sammen de 5 beløpene i kolonnen til høyre:

$8 000+8 00·1,03+8 000·1,{03}^2+8 000·1,{03}^3+8 000·1,{03}^4$

Dette kan vi kjenne igjen som ei geometrisk rekke med 5 ledd der $a_1=8 000$ (sparebeløpet) og $k=1,03$ (vekstfaktor). Den eksplisitte formelen for rekka er da gitt ved

$a_n=8 000·1,{03}^{n-1}$

Vi kan finne summen enten ved å bruke formelen for $S_5$ eller ved å bruke summeformelen i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}{S}_5 & =& a_1·\frac{k^5-1}{k-1}\\ & =& 8 000·\frac{1,{03}^5-1}{1,03-1}\\ & \approx & 42 473\end{array}$

Vi tenker oss en situasjon der vi har spart i 10 år, og i stedet for å sette inn det 11. beløpet velger vi å ta ut det som står på kontoen. Da får vi ei rekke som ligner på den vi har over, med $n=10$ og $k=1,03$. Men hva må vi tenke på når vi skal finne $a_1$ i denne rekka?

Denne rekka gir oss den eksplisitte formelen

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 8 000·1,03·1,{03}^{n-1}\\ & =& 8 000·1,{03}^n\end{array}$

Vi finner ut hvor mye vi kan ta ut ved å finne summen av de 10 første leddene i rekka:

$\begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& \sum _{n=1}^{10}8 000 ·1,{03}^n\\ & =& 94 462\end{array}$

Regneeksempel

Vi ønsker å finne ut hvor lang tid det tar før det står mer enn 60 000 kroner på kontoen. Vi bruker den rekka der hvor $a_1=8 000$ og setter summen lik 60 000 kroner:

$\sum _{n=1}^{x}8 000·1,{03}^{n-1}=60 000$

Vi løser i GeoGebra og ser at vi får til svar at $n$ må være lik 6,87 for at det skal stå mer enn 60 000 kroner på kontoen. Men hva betyr egentlig det? Har vi faktisk funnet ut når beløpet passerer 60 000 kroner nå?

Vi regner ut hvor mye som er på kontoen like før og like etter at vi setter inn det 7. beløpet.

$\begin{array}{rcl}\sum _{n=1}^{6}8 000·1,{03}^n & =& 53 300\\ \sum _{n=1}^{7}8 000 ·1,{03}^{n-1} & =& 61 300\end{array}$

Vi er altså avhengig av det 7. sparebeløpet for å passere 60 000 kroner.

Film om sparing og geometriske rekker