Sparing

Vekstfaktor og geometriske rekker

Tidlegare har du jobba med vekstfaktor. Dette skal vi no ta med oss når vi skal rekne ut korleis ein sparekonto utviklar seg over tid.

Sparing over fleire år

Vi startar med å sjå på eit tilfelle der vi set inn 8 000 kroner på ein sparekonto. Vi lar pengane stå i 4 år med 3 prosent rente, noko som gir ein vekstfaktor på 1,03. Vi kan rekne ut kor mykje dette har vakse til om 4 år:

$8 000 ·1,{03}^4=9 004$

Kva skjer dersom vi set inn 8 000 kroner på denne kontoen kvart år? Kva står det då på kontoen om 4 år? Det første beløpet vi set inn, vil forrente seg i 4 år, som vi såg over. Det andre beløpet vi set inn, vil forrente seg i 3 år og så vidare. Vi skaffar oss oversikt i ein tabell:

Legg merke til at det siste beløpet vi set inn, ikkje rekk å forrente seg i det heile.

Dersom vi no skal finne ut kor mykje som står på kontoen, legg vi saman dei 5 beløpa i kolonnen til høgre:

$8 000+8 00·1,03+8 000·1,{03}^2+8 000·1,{03}^3+8 000·1,{03}^4$

Dette kan vi kjenne igjen som ei geometrisk rekke med 5 ledd der $a_1=8 000$ (sparebeløpet) og $k=1,03$ (vekstfaktor). Den eksplisitte formelen for rekka er då gitt ved

$a_n=8 000·1,{03}^{n-1}$

Vi kan finne summen anten ved å bruke formelen for $S_5$ eller ved å bruke summeformelen i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}{S}_5 & =& a_1·\frac{k^5-1}{k-1}\\ & =& 8 000·\frac{1,{03}^5-1}{1,03-1}\\ & \approx & 42 473\end{array}$

Vi tenker oss ein situasjon der vi har spart i 10 år, og i staden for å setje inn det 11. beløpet vel vi å ta ut det som står på kontoen. Då får vi ei rekke som liknar på ho vi har over, med $n=10$ og $k=1,03$. Men kva må vi tenke på når vi skal finne $a_1$ i denne rekka?

Denne rekka gir oss den eksplisitte formelen

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 8 000·1,03·1,{03}^{n-1}\\ & =& 8 000·1,{03}^n\end{array}$

Vi finn ut kor mykje vi kan ta ut ved å finne summen av dei 10 første ledda i rekka:

$\begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& \sum _{n=1}^{10}8 000 ·1,{03}^n\\ & =& 94 462\end{array}$

Reknedøme

Vi ønsker å finne ut kor lang tid det tek før det står meir enn 60 000 kroner på kontoen. Vi bruker den rekka der $a_1=8 000$ og set summen lik 60 000 kroner:

$\sum _{n=1}^{x}8 000·1,{03}^{n-1}=60 000$

Vi løyser i GeoGebra og ser at vi får til svar at $n$ må vere lik 6,87 for at det skal stå meir enn 60 000 kroner på kontoen. Men kva betyr eigentleg det? Har vi faktisk funne ut når beløpet passerer 60 000 kroner no?

Vi reknar ut kor mykje som er på kontoen like før og like etter at vi set inn det 7. beløpet.

$\begin{array}{rcl}\sum _{n=1}^{6}8 000·1,{03}^n & =& 53 300\\ \sum _{n=1}^{7}8 000 ·1,{03}^{n-1} & =& 61 300\end{array}$

Vi er altså avhengig av det 7. sparebeløpet for å passere 60 000 kroner.

Film om sparing og geometriske rekker