Oppgave

Annuitetslån og nåverdier

I denne artikkelen kan du jobbe med oppgaver som lar deg beregne avdrag og totalkostnad på det vi kaller annuitetslån. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

I teoriartikkelen om annuitetslån og nåverdier brukte vi to ulike metoder for å løse det samme problemet. I denne oppgaven skal vi se på hva som er sammenhengen mellom de to.

a) Ta for deg de fem første ledda i rekka gitt ved $a_{n} = x \cdot 1, 05^{n - 1}$ . Multipliser med $\frac{1}{1, 05^{5}}$ . Sammenlikn med de fem første ledda i rekka gitt ved $a_{n} = \frac{x}{1, 05^{n}}$ . Hva ser du?

Løsning

Vi skriver opp de fem første ledda og multipliserer med $\frac{1}{1, 05^{5}}$ :

$\begin{array}{rcl} (x + x \cdot 1, 05 + x \cdot 1, 05^{2} + x \cdot 1, 05^{3} + x \cdot 1, 04^{4}) \cdot \frac{1}{1, 05^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} = & \frac{x}{1, 05^{5}} + \frac{x}{1, 05^{4}} + \frac{x}{1, 05^{3}} + \frac{x}{1, 05^{2}} + \frac{x}{1, 05^{1}} \end{array}$

Vi legger merke til at dette er akkurat de samme uttrykkene som de fem første ledda i rekka gitt ved $a_{n} = \frac{x}{1, 05^{n}}$ .

b) Bruk tankegangen fra a) og forklar at

$\frac{1}{1, 05^{n}} \cdot \sum_{n = 1}^{n} x \cdot 1, 05^{n - 1} = \sum_{n = 1}^{n} \frac{x}{1, 05^{n}}$

Løsning

Vi gjør det samme som i a), men med hele rekka:

$\frac{1}{1, 05^{n}} \cdot \sum_{n = 1}^{n} x \cdot 1, 05^{n - 1} =$

$\frac{1}{1, 05^{n}} (x + x \cdot 1, 05 + . . . + x \cdot 1, 05^{n - 2} + x \cdot 1, 05^{n - 1}) =$

$\frac{x}{1, 05^{n}} + \frac{x}{1, 05^{n - 1}} + . . . + \frac{x}{1, 05^{2}} + \frac{x}{1, 05^{1}} =$

$\sum_{n = 1}^{n} \frac{x}{1, 05^{n}}$

c) Ta utgangspunkt i likningen $\sum_{n = 1}^{10} x \cdot 1, 05^{n - 1} = 200 000 \cdot 1, 05^{10}$ , som vi brukte for å sammenlikne framtidige verdier. Multipliser begge sider med $\frac{1}{1, 05^{10}}$ . Hva ser du?

Løsning

$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 1}^{10} x \cdot 1, 05^{n - 1} & = & 200 000 \cdot 1, 05^{10} \\ \frac{1}{1, 05^{10}} \cdot \sum_{n = 1}^{10} x \cdot 1, 05^{n - 1} & = & \frac{1}{1, 05^{10}} \cdot 200 000 \cdot 1, 05^{10} \\ \sum_{n = 1}^{10} \frac{x}{1, 05^{n}} & = & 200 000 \end{array}$

Vi ser at vi får den likningen vi brukte for å sammenlikne nåverdier.

d) Forklar med egne ord, gjerne muntlig til en medelev, hvordan de to metodene fungerer, og at de gjør det samme.

Oppgave 2

En bank tilbyr forbrukslån med månedsrente på 2 prosent. Du vil ta opp et lån på 60 000 kroner og betale det tilbake over to år.

a) Hvis du velger å ikke betale ned noe på lånet, hvor mye vil du skylde etter to år?

Tips

Husk at lånet har 2 prosent rente per måned, og ikke per år.

Løsning

Vi får en vekstfaktor på 1,02, og siden renta skal legges på hver måned, har vi 24 perioder:

$\begin{array}{rcl} Lånebeløp & = & 60 000 \cdot 1, 02^{24} \\ = & 96 506, 2 \\ \approx & 96 506 \end{array}$

Lånebeløpet vokser til mer enn 96 500 kroner dersom vi ikke betaler ned på lånet.

b) Heldigvis er du smartere enn som så og betaler ned lånet med et terminbeløp hver måned. Det første betaler du etter en måned. Hvor stort blir terminbeløpet?

Tips

Tenk først gjennom om du vil sammenlikne nåverdier eller framtidige verdier.

Løsning

Siden vi allerede har regnet ut verdien av lånebeløpet om 2 år, velger vi å sammenlikne framtidige verdier. Da vet vi at det siste beløpet vi betaler inn, kan sammenliknes direkte med verdien til lånebeløpet om 2 år, mens vi må tenke oss at det første beløpet vi har satt inn, forrenter seg parallelt med lånebeløpet i 23 måneder. Det gir at summen av de fremskrevne verdiene av lånebeløpet er gitt ved

$\sum_{n = 1}^{24} x \cdot 1, 02^{n - 1}$

Vi setter dette uttrykket lik summen vi fant i a) og løser likningen i GeoGebra:

CAS i GeoGebra løser likningen summen av x multiplisert med 1,02 opphøyd i parentes n minus 1 parentes slutt fra n lik 1 til 24 er lik 60000 multiplisert med 1,02 opphøyd i 24. Løsningen med N Løs er x er lik 3172,27. Skjermutklipp.

Vi ser at terminbeløpet blir cirka 3 172 kroner.

c) Hvor mye betaler du totalt på dette lånet?

Løsning

Det er 24 terminbeløp:

$3 172, 27 \cdot 24 = 76 134, 48$

Du må betale tilbake mer enn 76 000 kroner totalt.

Oppgave 3

Du har nettopp tatt lappen (hurra!) og skal kjøpe deg en bruktbil til 100 000 kroner. Siden du brukte alle pengene på kjøreopplæringen, må du kjøpe bilen på avbetaling. Du får en avtale der du må betale 6 prosent årlig rente, og du skal betale ned lånet på 5 år med en termin hvert år. Det første terminbeløpet betaler du etter ett år, og alle terminbeløpene skal være like store.

a) Hvor mye må du betale hvert år?

Løsning

Å kjøpe på avbetaling blir det samme som å ta opp et annuitetslån. Vi velger nå å sammenlikne nåverdier. Det betyr at vi får følgende rekke:

$\frac{x}{1, 06^{1}} + \frac{x}{1, 06^{2}} + \frac{x}{1, 06^{3}} + \frac{x}{1, 06^{4}} + \frac{x}{1, 06^{5}}$

Dette betyr at $a_{1} = \frac{x}{1, 06}$ , $k = \frac{1}{1, 06}$ og $a_{n} = \frac{x}{1, 05^{n}}$ .

Det gir følgende likning:

$\sum_{n = 1}^{5} \frac{x}{1, 06^{n}} = 100 000$

Den har løsningen

$x = 23 739, 6 \approx 23 740$

Den årlige innbetalingen er på cirka 23 740 kroner.

b) Hvor mye har du betalt i renter til sammen?

Løsning

Vi finner først ut hvor mye du må betale til sammen, og så trekker vi fra de 100 000 kronene bilen kostet:

$\begin{array}{rcl} 23 739, 6 \cdot 5 - 100 000 & = & 18 698 \end{array}$

Du må altså betale 18 698 kroner i renter hvis du kjøper bilen på avbetaling.

Oppgave 4

Du vil kjøpe deg en ny gaming-pc til 24 000 kroner. Du kan velge mellom å betale kontant og få en rabatt på 5 prosent og å kjøpe pc-en på avbetaling.

a) Tilbudet om avbetaling er å betale 9 000 kroner i året i tre år, det første avdraget betaler du etter ett år. Hvor mye må du betale i rente per år med en slik ordning?

Løsning

Vi velger her å sammenlikne nåverdier. Vi kjenner terminbeløpet, men ikke vekstfaktoren. Vi setter vekstfaktor $= x$ . Da får vi ei rekke der $a_{1} = \frac{9 000}{x}$ , mens $k = \frac{1}{x}$ . Det gir denne likningen:

$\sum_{n = 1}^{3} \frac{9 000}{x^{n}} = 24 000$

Vi løser den ved hjelp av et digitalt verktøy og får at

$x = 1, 0613 \approx 1, 061$

Siden vekstfaktoren er 1,061, betyr det at renta er 6,1 prosent.

b) Du velger å heller ta opp et forbrukslån i en bank og betale pc-en med en gang. Lånet du velger har en månedlig rente på 1 prosent. Hvor stort er terminbeløpet? Du betaler inn det samme beløpet hver måned, det første beløpet etter en måned.

Løsning

Vi finner først ut hva du må betale for pc-en etter rabatten:

$24 000 kr \cdot 0, 95 = 22 800 kr$

Så finner vi terminbeløpet når du skal betale 36 terminer. Vi har da ei rekke hvor $a_{1} = \frac{x}{1, 01}$ og $k = \frac{1}{1, 01}$ . Det gir denne likningen:

$\sum_{n = 1}^{36} \frac{x}{1, 01^{n}} = 22 800$

Vi løser likningen digitalt og får

$x = 757, 28 \approx 757, 3$

Terminbeløpet er altså cirka 757 kroner.

c) Gjorde du et klokt valg?

Løsning

For å kunne svare på det må vi sammenlikne hvor mye du må betale for pc-en din med de to avtalene.

Hvis du hadde kjøpt pc-en på avbetaling i butikken, ville du ha betalt $3 \cdot 9 000 kr = 27 000 kr .$

Med forbrukslånet har du betalt $36 \cdot 757, 3 kr = 27 262, 8 kr$ .

Du kan se at du har betalt litt mer for pc-en med forbrukslånet, men kanskje var det verdt det for å slippe å måtte betale tre store avdrag i slutten av hvert av de tre åra?

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Annuitetslån og nåverdier(DOCX)
Annuitetslån og nåverdier(PDF)