Krumningsforhold og vendepunkter. Dobbeltderiverttesten

Krumningsforhold og vendepunkter

Det kan være interessant å finne ut hvor grafen til en funksjon er brattest.

🤔 Tenk over: Hva er det som forteller oss hvor bratt grafen til en funksjon f er i et punkt?

Jo brattere grafen til en funksjon er, jo større er absoluttverdien til den deriverte, $|f\text{'}(x\left)\right|$. Tilsvarende er absoluttverdien til den deriverte mindre jo slakere grafen til funksjonen er. Derfor er det interessant å finne ut hvor den deriverte har sine største og minste verdier. Med andre ord: Vi er interessert i å finne topp- og bunnpunktene til den deriverte. De kan vi finne ved å bruke den deriverte av den deriverte.

Krumningsforhold

Funksjonen f er gitt ved

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{x}^2-2x+1}$

Denne funksjonen er også drøftet under overskriften "Monotoniegenskapene til en tredjegradsfunksjon" på teorisiden "Grunnleggende om funksjonsanalyse".

Vi deriverer funksjonen to ganger for å finne ut når grafen er brattest. Da får vi den deriverte av den deriverte, som vi vanligvis kaller den andrederiverte eller den dobbeltderiverte funksjonen $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$. Legg merke til skrivemåten med to apostrofer (primtegn).

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}{\displaystyle {{\displaystyle x}}^3}{\displaystyle -}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{x}^2-2x+1\\ f\text{'}\left(x\right) & =& x^2-x-2\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 2x-1\end{array}$

Vi løser likningen $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$:

$\begin{array}{rcl}2x-1 & =& 0\\ 2x & =& 1\\ x & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}\end{array}$

Vi tegner fortegnslinja til $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ og grafen til funksjonen f i det samme koordinatsystemet.

Den andrederiverte, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$, skifter fortegn fra negativt til positivt for $x={\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$. Det betyr at den deriverte, $f\text{'}\left(x\right)$, har et bunnpunkt der. Det stemmer, for vi kan observere at i området mellom ekstremalpunktene til grafen er den brattest akkurat der.

🤔 Tenk over: Hva er forskjellen på grafen når $x<{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$, og når $x>{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$? (Kanskje du får et hint av smilefjesene på bildet.)

At grafen vender den hule siden opp, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$, betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen enten vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.

At grafen vender den hule siden ned, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$, betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.

Vendepunkt

I punktet $x={\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$ skifter grafen fra å vende den hule siden ned til å vende den hule siden opp. Et slik punkt kalles et vendepunkt.

Den deriverte (dersom den eksisterer!) har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet, og grafen til funksjonen er brattest der.

🤔 Tenk over: Har vi alltid et vendepunkt dersom den dobbeltderiverte er lik 0?

🤔 Tenk over: Kan vi ha et vendepunkt uten at den dobbeltderiverte er lik 0?

Forklaring

Ja, det kan vi ha.

Tegn grafen til $g\left(x\right)=\sqrt[5]{x^3}$ i GeoGebra. Ser du at grafen har den hule siden sin opp for $x<0$ og den hule siden ned for $x>0$?

Hvis vi deriverer to ganger, vil vi se at verken den deriverte eller den dobbeltderiverte er definert i punktet $x=0$.

Men selve funksjonen er definert og har et vendepunkt for $x=0$.

Vi husker at vi har et vendepunkt dersom funksjonen skifter krumning i dette punktet, altså dersom den dobbeltderiverte har ulikt fortegn på hver side av punktet. Det kan skje i et punkt der den dobbeltderiverte er null, eller i et punkt der den dobbeltderiverte ikke er definert, slik som i dette tilfellet.

Under har vi tegnet grafen til $g\left(x\right)$ sammen med grafen til den dobbeltderiverte:

Definisjon av vendepunkt

Vi ønsker oss en formell definisjon på hva som er et vendepunkt. Vi har til nå vist at vi må ha et punkt på grafen der den dobbeltderiverte skifter fortegn. Legg merke til at det ikke er et krav at den deriverte eller den dobbeltderiverte må eksistere i dette punktet, men det er et krav at selve funksjonen må være definert her. I tillegg til dette er det et krav om at funksjonen må være kontinuerlig i dette punktet. Noen matematikere krever i tillegg at det skal være mulig å tegne en tangent i et punkt for at det skal kunne defineres som et vendepunkt, men vi velger her definisjonen som kun krever kontinuitet.

Da kan vi få følgende definisjon:

Vendetangent

I oppgaver blir vi ofte bedt om å finne likningen for en vendetangent. En vendetangent er tangenten til funksjonen i et vendepunkt.

Eksempel

Vi vil finne likningen for vendetangenten til funksjonen f gitt ved

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{x}^2-2x+1}$

Dette er den samme funksjonen som vi brukte i eksempelet øverst på siden. Vi fant ut over at vi har et vendepunkt for ${\displaystyle x=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$.

${\displaystyle f\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^2-2\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)+1=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}}$

Det betyr at koordinatene til vendepunktet er ${\displaystyle \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}\right)}$.

Vi regner så ut stigningstallet til tangenten i vendepunktet:

${\displaystyle f\text{'}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)={\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^2-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}-2=-\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}}$

Nå vet vi at vendetangenten går gjennom punktet ${\displaystyle \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}\right)}$ og har stigningstallet ${\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}}$. Vi kan da bruke ettpunktsformelen og finne likningen for tangenten.

$\begin{array}{rcl}y-y_1& = & a(x-x_1)\\ {\displaystyle y-\left(-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}\right)}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}\left(x-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}\\ {\displaystyle y+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}x+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 8}}}\\ {\displaystyle y}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}x+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 8}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}}\\ {\displaystyle y}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}x+\frac{{\displaystyle 25}}{{\displaystyle 24}}}\end{array}$

Vi har til slutt tatt med en oversikt over fortegnslinja til selve funksjonsuttrykket sammen med fortegnslinjene til den første- og andrederiverte. Disse er tegnet inn i koordinatsystemet sammen med $f\left(x\right)$.

På grunnlag av fortegnslinjene er det mulig å tegne en skisse av grafen. Motsatt kan vi ut fra grafen tegne de tre fortegnslinjene. Ved hjelp av grafen kan vi altså tolke grunnleggende egenskaper ved funksjonen.

Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten

Vi har brukt fortegnslinja til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er et toppunkt eller et bunnpunkt. Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette.

Funksjonen $f\left(x\right)$ er definert i CAS-vinduet. Siden $f\text{'}\left(-1\right)=0$ og $f\text{'}\text{'}\left(-1\right)$ er negativ, har grafen hul side ned og dermed et toppunkt for $x=-1$.

Siden $f\text{'}\left(2\right)=0$ og $f\text{'}\text{'}\left(2\right)$ er positiv, har grafen hul side opp og dermed et bunnpunkt for $x=2$.

Grafen har toppunkt ${\displaystyle \left(-1,\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}\right)}$ og botnpunkt ${\displaystyle \left(2,-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}\right)}$.