Krummingsforhold og vendepunkt. Dobbeltderiverttesten

Krummingsforhold og vendepunkt

Det kan vere interessant å finne ut kvar grafen til ein funksjon er brattast.

🤔 Tenk over: Kva er det som fortel oss kor bratt grafen til ein funksjon f er i eit punkt?

Jo brattare grafen til ein funksjon er, jo større er absoluttverdien til den deriverte, $|f\text{'}(x\left)\right|$. Tilsvarande er absoluttverdien til den deriverte mindre jo slakare grafen til funksjonen er. Derfor er det interessant å finne ut kvar den deriverte har dei største og minste verdiane sine. Med andre ord: Vi er interesserte i å finne topp- og botnpunkta til den deriverte. Dei kan vi finne ved å bruke den deriverte av den deriverte.

Krummingsforhold

Funksjonen f er gitt ved

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{x}^2-2x+1}$

Denne funksjonen er òg drøfta under overskrifta "Monotonieigenskapane til ein tredjegradsfunksjon" på teorisida "Grunnleggande om funksjonsanalyse".

Vi deriverer funksjonen to gonger for å finne ut når grafen er brattast. Då får vi den deriverte av den deriverte, som vi til vanleg kallar den andrederiverte eller den dobbeltderiverte funksjonen $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$. Legg merke til skrivemåten med to apostrofar (primteikn).

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}{\displaystyle {{\displaystyle x}}^3}{\displaystyle -}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{x}^2-2x+1\\ f\text{'}\left(x\right) & =& x^2-x-2\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 2x-1\end{array}$

Vi løyser likninga $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$:

$\begin{array}{rcl}2x-1 & =& 0\\ 2x & =& 1\\ x & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}\end{array}$

Vi teiknar forteiknslinja til $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ og grafen til funksjonen i det same koordinatsystemet.

Den andrederiverte, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$, skiftar forteikn frå negativt til positivt for $x={\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$. Det betyr at den deriverte, $f\text{'}\left(x\right)$, har eit botnpunkt der. Det stemmer, for vi kan observere at i området mellom ekstremalpunkta til grafen er grafen brattast akkurat der.

🤔 Tenk over: Kva er forskjellen på grafen når $x<{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$, og når $x>{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$? (Kanskje du får eit hint av smilefjesa på biletet.)

At grafen vender den hole sida opp, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$, betyr at den deriverte veks. Det vil seie at sjølve funksjonen anten veks meir og meir eller minkar mindre og mindre.

At grafen vender den hole sida ned, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$, betyr at den deriverte minkar. Det vil seie at sjølve funksjonen minkar meir og meir eller veks mindre og mindre.

Vendepunkt

I punktet $x={\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$ skiftar grafen frå å vende den hole sida ned til å vende den hole sida opp. Eit slik punkt kallar vi eit vendepunkt.

Den deriverte (dersom han eksisterer!) har anten den største verdien sin eller den minste verdien sin i vendepunktet. Det vil seie at funksjonen veks raskast eller minkar raskast i vendepunktet, og grafen til funksjonen er brattast der.

🤔 Tenk over: Har vi alltid eit vendepunkt dersom den dobbeltderiverte er lik 0?

🤔 Tenk over: Kan vi ha eit vendepunkt utan at den dobbeltderiverte er lik 0?

Forklaring

Ja, det kan vi ha.

Teikn grafen til $g\left(x\right)=\sqrt[5]{x^3}$ i GeoGebra. Ser du at grafen har den hole sida opp for $x<0$ og den hole sida ned for $x>0$?

Dersom vi deriverer to gonger, vil vi sjå at verken den deriverte eller den dobbeltderiverte er definert i punktet $x=0$.

Men sjølve funksjonen er definert og har eit vendepunkt for $x=0$.

Vi hugsar at vi har eit vendepunkt dersom funksjonen skiftar krumming i dette punktet, altså dersom den dobbeltderiverte har ulikt forteikn på kvar side av punktet. Det kan skje i eit punkt der den dobbeltderiverte er null, eller i eit punkt der den dobbeltderiverte ikkje er definert, slik som i dette tilfellet.

Under har vi teikna grafen til $g\left(x\right)$ saman med grafen til den dobbeltderiverte:

Definisjon av vendepunkt

Vi ønsker oss ein formell definisjon på kva som er eit vendepunkt. Vi har til no vist at vi må ha eit punkt på grafen der den dobbeltderiverte skiftar forteikn. Legg merke til at det ikkje er eit krav at den deriverte eller den dobbeltderiverte må eksistere i dette punktet, men det er eit krav at sjølve funksjonen må vere definert her. I tillegg til dette er det eit krav om at funksjonen må vere kontinuerleg i dette punktet. Nokre matematikarar krev i tillegg at det skal vere mogleg å teikne ein tangent i eit punkt for at det skal kunne definerast som eit vendepunkt, men vi vel her definisjonen som berre krev kontinuitet.

Då kan vi få denne definisjonen:

Vendetangent

I oppgåver blir vi ofte bedne om å finne likninga for ein vendetangent. Ein vendetangent er tangenten til funksjonen i eit vendepunkt.

Døme

Vi vil finne likninga for vendetangenten til funksjonen $f$ gitt ved

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{x}^2-2x+1}$

Dette er den same funksjonen som vi brukte i dømet øvst på sida. Vi fann ut over at vi har eit vendepunkt for ${\displaystyle x=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}$.

${\displaystyle f\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^2-2\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)+1=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}}$

Det betyr at koordinatane til vendepunktet er ${\displaystyle \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}\right)}$.

Vi reknar så ut stigningstalet til tangenten i vendepunktet:

${\displaystyle f\text{'}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)={\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^2-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}-2=-\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}}$

No veit vi at vendetangenten går gjennom punktet ${\displaystyle \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}\right)}$ og har stigningstalet ${\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}}$. Vi kan då bruke eittpunktsformelen og finne likninga for tangenten.

$\begin{array}{rcl}y-y_1& = & a(x-x_1)\\ {\displaystyle y-\left(-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}\right)}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}\left(x-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}\\ {\displaystyle y+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}x+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 8}}}\\ {\displaystyle y}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}x+\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 8}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}}\\ {\displaystyle y}& {\displaystyle =}& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}x+\frac{{\displaystyle 25}}{{\displaystyle 24}}}\end{array}$

Vi har til slutt teke med ei oversikt over forteiknslinja til sjølve funksjonsuttrykket saman med forteiknslinjene til den første- og andrederiverte. Desse er teikna inn i koordinatsystemet saman med $f\left(x\right)$.

På grunnlag av forteiknslinjene er det mogleg å teikne ei skisse av grafen. Motsett kan vi ut frå grafen teikne dei tre forteiknslinjene. Ved hjelp av grafen kan vi altså tolke grunnleggande eigenskapar ved funksjonen.

Toppunkt eller botnpunkt? Dobbeltderiverttesten

Vi har brukt forteiknslinja til den deriverte for å avgjere om eit ekstremalpunkt er eit toppunkt eller eit botnpunkt. Den dobbeltderiverte gir oss ein ny metode for å avgjere dette.

Funksjonen $f\left(x\right)$ er definert i CAS-vindauget. Sidan $f\text{'}\left(-1\right)=0$ og $f\text{'}\text{'}\left(-1\right)$ er negativ, har grafen hol side ned og dermed eit toppunkt for $x=-1$.

Sidan $f\text{'}\left(2\right)=0$ og $f\text{'}\text{'}\left(2\right)$ er positiv, har grafen hol side opp og dermed eit botnpunkt for $x=2$.

Grafen har toppunkt ${\displaystyle \left(-1,\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}\right)}$ og botnpunkt ${\displaystyle \left(2,-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}\right)}$.