Analyse av logaritmefunksjoner

Den naturlige logaritmen er bare definert for positive tall. Da må

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & >& 0\end{array}$$

Vi løser ulikheten ved først å finne nullpunktene til uttrykket.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x\left(x-2\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x-2=0\\ x & =& 0 \vee x=2\end{array}$$

Så tester vi uttrykket i de aktuelle intervallene.

Da kan vi tegne fortegnsskjema for uttrykket.

Funksjonen kan bare være definert der uttrykket er større enn 0. Definisjonsmengden til funksjonen blir

$$ \begin{array}{rcl}{D}_f & =& ⟨\leftarrow , 0⟩\cup ⟨2, \to ⟩\end{array}$$

Vi finner nullpunktene til funksjonen.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 0\\ \ln \left(x^2-2x\right) & =& 0\\ x^2-2x & =& 1\\ x^2-2x-1& =& 0\\ x & =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-1\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\ & =& 1\pm \sqrt{2}\\ x & =& 1-\sqrt{2}\approx -0,4 \vee x=1+\sqrt{2}\approx 2,4\end{array}$$

Vi deriverer funksjonen og undersøker fortegnet til den deriverte.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \ln \left(x^2-2x\right)=\ln u\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{u}·u^{\text{'}}=\frac{1}{x^2-2x}·\left(2x-2\right)\\ & =& \frac{2x-2}{x^2-2x}\end{array}$$

Her satte vi  $$ u=x^2-2x$$  og brukte kjerneregelen da vi deriverte.

Så setter vi den deriverte lik null.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ \frac{2x-2}{x\left(x-2\right)} & =& 0 , x\ne 0 \wedge x\ne 2\\ 2x-2 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$$

Kandidaten til nullpunkt for den deriverte ligger utenfor definisjonsmengden til funksjonen. Grafen kan derfor ikke ha noe topp- eller bunnpunkt.

Vi tester den deriverte i de to aktuelle intervallene.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-1\right) & =& \frac{2·\left(-1\right)-2}{{\left(-1\right)}^2-2·\left(-1\right)}=\frac{-2-2}{1+2}=-\frac{4}{3}<0\\ f^{\text{'}}\left(3\right) & =& \frac{2·3-2}{3^2-2·3}=\frac{6-2}{9-6}=\frac{4}{3}>0\\ & & \end{array}$$

Fortegnsskjemaet for den deriverte ser derfor slik ut:

Av fortegnslinja kan vi lese at grafen til $$ f$$ synker når  $$ x<0$$  og stiger når  $$ x>2$$.

Vi deriverer en gang til og undersøker fortegnet til den dobbeltderiverte.

$$ \begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x-2}{x^2-2x}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(2x-2\right)}^{{\text{'}}^{}}·\left(x^2-2x\right)-\left(2x-2\right)·{\left(x^2-2x\right)}^{{\text{'}}^{}}}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{2·\left(x^2-2x\right)-\left(2x-2\right)·\left(2x-2\right)}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x^2-4x-4x^2+8x-4}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{-2x^2+4x-4}{{\left(x^2-2x\right)}^2}=\frac{-2\left(x^2-2x+2\right)}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\end{array}$$

Vi setter telleren lik 0.

$$ x^2-2x+2=0\Rightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2}$$

Telleren har ingen nullpunkter. Vi setter inn en tilfeldig verdi av $$ x$$ i telleren.

$$ -2\left(0^2-2·0+2\right)=-4<0$$

Det betyr at telleren alltid er negativ.

Nevneren $$ {\left(x^2-2x\right)}^2$$ er alltid positiv på grunn av begrensningene i definisjonsmengden til $$ f$$. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ.

Grafen har derfor ikke noe vendepunkt, og den vender alltid den hule sida ned.

Nå kjenner vi noe til grafens forløp, og vi kan lage en omtrentlig skisse av grafen uten hjelpemidler. (Grafen i figuren er laget i GeoGebra.)

I linje 2 og 3 finner vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finner vi eventuelle stasjonære punkter, men svaret gir en $$ x$$-verdi som er utenfor definisjonsområdet til $$ f$$. Vi sjekker fortegnet til den deriverte i linje 5. Her er det bare løsningen  $$ x>2$$  som gjelder for definisjonsområdet. I linje 6 finner vi eventuelle mulige vendepunkter, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekker vi fortegnet til den dobbeltderiverte. Vi får ingen løsning, og det betyr at grafen alltid vender den hule sida ned, som vi fant i oppgave c).