Oppgave

Addisjon av sannsynligheter

Løs oppgavene uten hjelpemidler.

4.1.30

Tell opp hvor mange gutter og jenter det er i klassen din akkurat nå. Tenk deg at læreren din skal trekke ut en elev tilfeldig.

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en jente?

Vis fasit

$P (Jente) = \frac{antall jenter}{antall elever}$

b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en gutt?

Vis fasit

$P (Gutter) = \frac{antall gutter}{antall elever}$

c) Legg sammen sannsynlighetene. Hva oppdager du?

Vis fasit

Summen av sannsynligheter skal bli 1 dersom du har regnet riktig.

4.1.31

Det trekkes tilfeldig ut en elev fra en klasse på 30 elever. Denne eleven skal representere klassen i en komité. Hvor mange mulige utfall finnes det?

Vis fasit

Det er 30 mulige utfall.

4.1.32

Du snurrer et lykkehjul som stanser tilfeldig på en av fargene. Se figuren nedenfor.

Sirkel som er delt inn i fire like store felt i hver sin farge: rødt, grønt, gult og blått. Fra origo i sirkelen går det ei svart pil ut i det røde feltet. Illustrasjon.

a) Hvor mange mulige utfall finnes det?

Vis fasit

Det er fire mulige utfall, nemlig rødt, blått, gult og grønt.

b) Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stanser på rødt?

Vis fasit

Hver av fargene dekker like stor del av lykkehjulet.

Sannsynlighet for å stanse på rødt blir dermed $\frac{1}{4} = 0, 25$ .

c) Lag en sannsynlighetsfordeling.

Vis fasit

Utfallsrom	Rødt	Blått	Gult	Grønt
Sannsynlighet	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

d) Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stanser på rødt eller på grønt?

Vis fasit

Sannsynligheten for å stanse på rødt eller grønt blir

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$

4.1.33

Du snurrer et lykkehjul som stanser tilfeldig på en av fargene. Se figuren nedenfor.

Sirkel med felt i ulike farger. To av fargene, rødt og brunt, dekker en fjerdedel hver av sirkelen. De andre fargene, svart, gult, grønt og blått, dekker en åttendedel hver av sirkelen. Ei svart pil går ut fra origo i det røde feltet. Illustrasjon.

a) Hvor mange mulige utfall finnes det?

Vis fasit

Det er seks mulige utfall, nemlig rødt, blått, brunt, svart, gult og grønt.

b) Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stanser på rødt?

Vis fasit

Det ser ut som rødfargen dekker en kvart sirkel.

Sannsynligheten for å stanse på rødt blir dermed $\frac{1}{4} = 0, 25$ .

c) Lag en sannsynlighetsfordeling.

Vis fasit

Utfallsrom	Rødt	Blått	Brunt	Svart	Gult	Grønt
Sannsynlighet	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

d) La hendelsen $A$ være at lykkehjulet stanser på rødt eller på blått. Hva er sannsynligheten for hendelsen $A$ ?

Vis fasit

$P (A) = P (rødt) + P (blått) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

e) Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet ikke stanser på rødt eller på blått?

Vis fasit

$P (A) = 1 - P (A) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

4.1.34

Du har 3 blå kuler, 2 røde kuler, 4 svarte kuler og 1 hvit kule i en boks.

a) Du trekker 1 kule tilfeldig fra boksen. Hvilke mulige utfall har du?

Vis fasit

Det er fire mulige utfall. Kula kan være blå, rød, svart eller hvit.

b) Skriv opp en sannsynlighetsfordeling når du trekker 1 kule tilfeldig.

Vis fasit

Utfallsrom	Blå	Rød	Svart	Hvit
Sannsynlighet	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$	$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$	$\frac{1}{10}$

4.1.35

Du spiller på et lykkehjul som er delt opp i 24 like store deler. Du kjøper 4 ulike tall på lykkehjulet.

a) Hvor stor sannsynlighet har du for å vinne?

Vis fasit

Sannsynligheten for å vinne er $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ .

b) Hvor stor sannsynlighet har du for ikke å vinne?

Vis fasit

Sannsynligheten for ikke å vinne vil være $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

Du måtte betale 10 kroner for hvert av tallene du kjøpte, altså 40 kroner. Premien for å komme på et av de 24 tallene er 200 kroner.

c) Vil det, i det lange løp, lønne seg å spille på dette lykkehjulet?

Vis fasit

I det lange løp vil du vinne $200 kroner \cdot \frac{1}{6} = 33, 33 kroner$ .

Når du betaler 40 kroner for de fire tallene vil det i det lange løp (selvsagt) ikke lønne seg å spille på dette lykkehjulet.

4.1.36

Vi trekker ett kort fra en tilfeldig blandet kortstokk. Vi definerer følgende hendelser:

$H$ : Kortet er en hjerter.

$K$ : Kortet er en konge.

$S$ : Kortet er en spar 7.

a) Finn sannsynligheten for hendelsen $H$ .

Vis fasit

Det er 13 hjerterkort i kortstokken, altså er det 13 gunstige utfall for hendelsen $H$ og 52 mulige utfall.

$P (H) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

b) Finn sannsynligheten for hendelsen $K$ .

Vis fasit

Det er 4 konger i kortstokken, altså er det 4 gunstige utfall for hendelsen $K$ og 52 mulige utfall.

$P (K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

c) Finn sannsynligheten for hendelsen $S$ .

Vis fasit

Det er kun én spar 7 i kortstokken, altså er det 1 gunstig utfall for hendelsen $S$ og 52 mulige utfall.

$P (S) = \frac{1}{52}$

4.1.37

Vi kaster en tikrone to ganger. Vi definerer følgende hendelser:

$A$ : nøyaktig en mynt

$B$ : minst en mynt

a) Skriv opp utfallene vi får når vi tar hensyn til kasterekkefølgen.

Vis fasit

Utfallene blir $\{K K, K M, M K, M M\}$ .

$M$ = mynt og $K$ = krone

b) Hva er sannsynligheten for de enkelte utfallene?

Vis fasit

Alle utfallene har like store sannsynligheter, som er lik $\frac{1}{4}$ .

Vi har en uniform sannsynlighetsmodell.

c) Hvilke utfall er med i hendelsen $A$ ?

Vis fasit

Utfallene i hendelsen $A$ er $K M$ og $M K$ .

d) Hvilke utfall er med i hendelsen $B$ ?

Vis fasit

Utfallene i hendelsen $B$ er $K M, M K$ og $M M$ .

e) Hva er sannsynligheten for hendelsen $A$ ?

Vis fasit

$P (A) = P (K M) + P (M K) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

f) Hva er sannsynligheten for hendelsen $B$ ?

Vis fasit

$P (B) = P (K M) + P (M K) + P (M M) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

4.1.38

Vi kaster en tikrone tre ganger. Vi definerer følgende hendelser:

$A$ : nøyaktig to mynter

$B$ : minst to mynter

a) Skriv opp utfallene vi får når vi tar hensyn til kasterekkefølgen.

Vis fasit

Utfallene blir

${K K K, K K M, K M K, M K K, M M M, M M K, M K M, K M M}$

$M$ = mynt og $K$ = krone

b) Hvilke utfall er med i hendelsen $A$ ?

Vis fasit

Utfallene i hendelsen $A$ er $M M K, M K M, K M M$ .

c) Hvilke utfall er med i hendelsen $B$ ?

Vis fasit

Utfallene i hendelsen $B$ er $M M M, M M K, M K M, K M M$ .

d) Hva er sannsynligheten for hendelsen $A$ ?

Vis fasit

Vi har en uniform sannsynlighetsmodell.

$P (A) = \frac{g}{m} = \frac{3}{8}$

e) Hva er sannsynligheten for hendelsen $B$ ?

Vis fasit

$P (B) = \frac{g}{m} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

4.1.39

To hvite terninger med sorte øyne. Foto.

Du kaster en terning én gang.

a) Lag en sannsynlighetsmodell. Hva slags modell er dette?

Vis fasit

Vi får en uniform sannsynlighetsmodell.

Antall øyne lik 1: Sannsynligheten er $\frac{1}{6}$ .

Antall øyne lik 2: Sannsynligheten er $\frac{1}{6}$ .

Antall øyne lik 3: Sannsynligheten er $\frac{1}{6}$ .

Antall øyne lik 4: Sannsynligheten er $\frac{1}{6}$ .

Antall øyne lik 5: Sannsynligheten er $\frac{1}{6}$ .

Antall øyne lik 6: Sannsynligheten er $\frac{1}{6}$ .

Vi definerer hendelsene:

$A$ : å få et antall øyne som er oddetall

$B$ : å få fire eller færre antall øyne

b) Hva er $P (A)$ ?

Vis fasit

Hendelsen $A$ har tre gunstige av seks mulige utfall:

$P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

c) Hva er $P (B)$ ?

Vis fasit

Hendelsen $B$ har fire gunstige av seks mulige utfall:

$P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

d) Hva er $P (A eller B)$ ?

Vis fasit

Hendelsen $A eller B$ har fem gunstige, 1,2, 3, 4 og 5, av seks mulige utfall.

$P (A eller B) = \frac{5}{6}$

e) Hva er $P (A og B)$ ?

Vis fasit

Hendelsen $A og B$ har to gunstige, 1 og 3, av seks mulige utfall:

$P (A og B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Grunnleggende sannsynlighetsberegning