Ulikheter med logaritmeuttrykk

Innledning

Når vi løser likninger med logaritmer, utnytter vi at to tierpotenser med like eksponenter er like.

Eksempel

Vi skal løse likningen $\lg x=2$. Vi ser at vi må kreve at $x>0$. Så bruker vi at to tierpotenser med like eksponenter er like:

$\begin{array}{rcl} \lg x& = & 2\\ & & \\ {10}^{\lg x}& =& {10}^2\\ & & \\ x& =& 100\end{array}$

Vi vet at funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)={10}^x$ vokser i hele definisjonsområdet. Det vil si at hvis $a>b$, så er ${10}^a>{10}^b$, og tilsvarende hvis $a<b$, så er ${10}^a<{10}^b$. Dette får vi bruk for når vi skal løse ulikheter med logaritmeuttrykk.

Eksempel 1

Så prøver vi oss på en tilsvarende ulikhet.

$\lg x<2$

Igjen noterer vi oss at vi må kreve at $x>0$. Så bruker vi at hvis $a<b$, så er ${10}^a<{10}^b$.

${10}^{\lg x}<{10}^2$

Vi bruker definisjonen på logaritmer og forenkler venstre side:

$x<100$

Løsningen blir

$x\in ⟨0, 100⟩$

Eksempel 2

$\lg x^2+2\lg x>0$

Kravet må være at $x>0$. Vi bruker tredje logaritmesetning og trekker sammen:

$\begin{array}{rcl}2\lg x+2\lg x & >& 2\\ 4\lg x & >& 2\\ \lg x & >& \frac{1}{2}\end{array}$

Vi bruker at $a>b \iff {10}^a>{10}^b$ og forenkler:

$\begin{array}{rcl}{10}^{\lg x} & >& {10}^{\frac{1}{2}}\\ x & >& \sqrt{10}\end{array}$

Løsningen blir

$x\in \langle \sqrt{10}, \to \rangle$

Eksempel 3

$\lg \left(x+2\right)-\lg 2<2$

Kravet må være at $x>-2$. Vi bruker andre logaritmesetning baklengs og deretter at $a>b \iff {10}^a>{10}^b$:

$\begin{array}{rcl}\lg \left(\frac{x+2}{2}\right) & >& 2\\ {10}^{\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)} & >& {10}^2\end{array}$

Vi bruker definisjonen på logaritmer og forenkler:

$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{2} & <& 100\\ x+2 & <& 200\\ x & <& 198\end{array}$

Løsningen blir

$x\in \langle -2, 198\rangle$

Eksempel 4

$\lg x+\lg \left(5-x\right)\ge \lg 6$

Kravet må være at $0<x<5$. Vi bruker første logaritmesetning baklengs, lager tierpotens og forenkler:

$\begin{array}{rcl}\lg \left(x·\left(5-x\right)\right) & \ge & \lg 6\\ {10}^{\lg \left(x·\left(5-x\right)\right)} & \ge & {10}^{\lg 6}\\ x\left(5-x\right) & \ge & 6\\ -x^2+5x-6 & \ge & 0\end{array}$

Vi setter

$-x^2+5x-6=0 \Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{-2} \Rightarrow x_1=2 , x_2=3$

Ulikheten blir da slik:

$-\left(x-2\right)\left(x-3\right)⩾0$

Uttrykket på venstre side er et andregradsuttrykk med negativ koeffisient foran andregradsleddet. Da vet vi at uttrykket har et toppunkt midt mellom nullpunktene. Nedenfor har vi tegnet ei fortegnslinje for andregradsuttrykket. Legg merke til at vi bare lager fortegnslinja fra 0 til 5.

Ulikheten spør etter når andregradsuttrykket er større enn eller lik 0. Løsningen blir

$x\in \left[2, 3\right]$

Ulikheter kan også løses grafisk

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=\lg x+\lg \left(5-x\right)$ (utrykket på venstre side i ulikheten ovenfor). I tillegg har vi tegnet den vannrette linja $y=\lg 6$ (høyre side i ulikheten).

Vi ser også grafisk at $\lg x+\lg \left(5-x\right)⩾\lg 6$ for $x\in \left[2,3\right]$.

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Eksempel 5

Vi ønsker å løse andregradsulikheten ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3<0 , x>0$.

Først finner vi nullpunktene til uttrykket på venstre side, vi løser likningen ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3=0$. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å sette $u=\lg x$.

$\begin{array}{rcl}u& = & \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2·1}\\ u& =& \frac{-2\pm 4}{2}=-1\pm 2 \end{array}$

Vi får at

$\begin{array}{rcl}\lg x & =& 1 \vee \lg x=-3\\ x & =& {10}^1 \vee x={10}^{-3}\\ x & =& 10 \vee x=0,001\end{array}$

Grafen til funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)={\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3$ er sammenhengende, derfor er det bare i nullpunktene at uttrykket ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3$ kan skifte fortegn.

Vi tar «stikkprøver» i intervallene $⟨0, 0.001⟩$, $⟨0.001, 10⟩$ og $⟨10, \to ⟩$, og lager fortegnsskjema.

For $x=0,0001$ får vi

$\begin{array}{rcl}{\left(\lg 0,0001\right)}^2& +& 2 \lg 0,0001-3\\ & =& {\left(-4\right)}^2+2·\left(-4\right)-3\\ & =& 16-8-3\\ & =& 5\end{array}$

Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi

${\left(\lg 1\right)}^2+2\lg 1-3=0^2+2·0-3=-3$

Uttrykket er negativt.

For $x=100$ får vi

${\left(\lg 100\right)}^2+2 \lg 100-3=3^2+2·2-3=5$

Uttrykket er positivt.

Nedenfor har vi illustrert dette i et fortegnsskjema.

Ulikheten spør etter når $(\lg x{)}^2+2\lg x-3<0$. Løsning: $x\in ⟨0.001, 10⟩$

Nedenfor har vi tegnet grafen til uttrykket ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3$. Det er vanskelig å finne begge nullpunktene i samme bildet. Vi har derfor først tegnet grafen og funnet det ene nullpunktet $\left(10, 0\right)$, så har vi tegnet et forstørret bilde av grafen i et lite område for å finne det andre nullpunktet $\left(0.001, 0\right)$.

Vi ser av grafene at løsningen stemmer.

Med CAS i GeoGebra får vi samme løsning.