Oppgave

Interaktivt innhold

Logaritme- og eksponentiallikninger

Her kan du jobbe med logaritmelikninger og eksponentiallikninger. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Løs likningene uten hjelpemidler og med CAS. Husk parentes når du bruker "lg" og "ln" i CAS i GeoGebra. Vi viser løsningen med CAS i noen av oppgavene.

a) $\lg x = 5$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg x & = & 5 | x > 0 \\ 10^{\lg x} & = & 10^{5} \\ x & = & 100 000 \end{array}$

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet l g parentes x parentes slutt er lik 5. Svaret med Løs er x er lik 10000. Skjermutklipp.

b) $\lg 4 x - 1 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg 4 x - 1 & = & 0 | x > 0 \\ \lg 4 x & = & 1 \\ 10^{\lg 4 x} & = & 10^{1} \\ 4 x & = & 10 \\ x & = & \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \end{array}$

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet l g parentes 4 x parentes slutt minus 1 er lik 0. Svaret med Løs er x er lik 5 halve. Skjermutklipp.

c) $3 \lg x - \lg x - 1 = 1$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 \lg x - \lg x - 1 & = & 1 | x > 0 \\ 2 \lg x & = & 2 \\ \lg x & = & 1 \\ x & = & 10^{1} = 10 \end{array}$

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet 3 ganger l g parentes x parentes slutt minus l g parentes x parentes slutt minus 1 er lik 1. Svaret med Løs er x er lik 10. Skjermutklipp.

d) $\lg (x + 2) = 4$

Løsning

$\begin{array}{rcl} lg (x + 2) & = & 4 | x > - 2 \\ x + 2 & = & 10^{4} \\ x & = & 10 000 - 2 = 9 998 \end{array}$

e) $\lg x^{2} - \lg x = 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} lg x^{2} - \lg x & = & 2 | x > 0 \\ 2 \lg x - \lg x & = & 2 \\ \lg x & = & 2 \\ x & = & 10^{2} = 100 \end{array}$

f) $\lg (x^{2} - 1) - \lg (x - 1) = 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg (x^{2} - 1) - \lg (x - 1) & = & 2 | x > 1 \\ \lg \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & = & 2 \\ \lg (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) & = & 2 \\ \lg (x + 1) & = & 2 \\ x + 1 & = & 10^{2} \\ x & = & 99 \end{array}$

g) $\lg (\frac{x}{2}) + \lg (\frac{x}{8}) = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg (\frac{x}{2}) + \lg (\frac{x}{8}) & = & 0 | x > 0 \\ \lg x - \lg 2 + \lg x - \lg 8 & = & 0 \\ 2 \lg x - \lg 2 - \lg 2^{3} & = & 0 \\ 2 \lg x - \lg 2 - 3 \lg 2 & = & 0 \\ 2 \lg x & = & 4 \lg 2 \\ \lg x & = & 2 \lg 2 \\ \lg x & = & \lg 2^{2} \\ \lg x & = & \lg 4 \\ x & = & 4 \end{array}$

Alternativ løsningsmetode:

$\begin{array}{rcl} \lg (\frac{x}{2}) + \lg (\frac{x}{8}) & = & 0 | x > 0 \\ \lg (\frac{x}{2}) & = & - \lg (\frac{x}{8}) \\ \lg (\frac{x}{2}) & = & \lg ({(\frac{x}{8})}^{- 1}) \\ \lg (\frac{x}{2}) & = & \lg (\frac{8}{x}) \\ \frac{x}{2} & = & \frac{8}{x} | \cdot 2 x \\ x^{2} & = & 16 \\ x & = & - 4 \lor x = 4 \end{array}$

Her må vi forkaste løsningen $x = - 4$ på grunn av kravet $x > 0$ . Løsning av likningen er $x = 4$ .

h) $\lg (3 x + 1) - \lg (x + 5) = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg (3 x + 1) - \lg (x + 5) & = & 0 | x > - \frac{1}{3} \\ \lg (3 x + 1) & = & \lg (x + 5) \\ 3 x + 1 & = & x + 5 \\ 2 x & = & 4 \\ x & = & 2 \end{array}$

Oppgave 2

a) Vi har gitt likningen $\lg (x + 3) = 1$ .

1) For hvilke verdier av x er likningen gyldig?

Løsning

$\lg (x + 3)$ er gyldig når $x + 3 > 0$ , det vil si for $x > - 3$ .

2) Løs likningen uten hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg (x + 3) & = & 1 \\ 10^{\lg (x + 3)} & = & 10^{1} \\ x + 3 & = & 10 \\ x & = & 7 \end{array}$

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive l g parentes x pluss 3 parentes slutt er lik 1. Svaret med Løys er x er lik 7. Skjermutklipp.

b) Vi har gitt likningen $3 \cdot \lg (2 x - 1) = 6$ .

1) For hvilke verdier av x er likningen gyldig?

Løsning

$\lg (2 x - 1)$ er gyldig når $2 x - 1 > 0$ , det vil si for $x > \frac{1}{2}$ .

2) Løs likningen uten hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg (2 x - 1) & = & 2 \\ 10^{\lg (2 x - 1)} & = & 10^{2} \\ 2 x - 1 & = & 10^{2} \\ x & = & \frac{100 + 1}{2} \\ x & = & \frac{101}{2} \end{array}$

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet l g parentes 2 x minus 1 parentes slutt er lik 2. Svaret med Løs er x er lik 101 halve. Skjermutklipp.

c) Vi har gitt likningen $(lg x)^{2} + 5 \lg x - 6 = 0$ .

1) For hvilke verdier av x er likningen gyldig?

Løsning

$\lg x$ er gyldig for $x > 0$ .

2) Løs likningen uten hjelpemidler.

Løsning

Her har vi en andregradslikning der $\lg x$ er den ukjente.

$\begin{array}{rcl} \lg x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} \\ \lg x & = & \frac{- 5 \pm 7}{2} \\ \lg x & = & 1 \lor \lg x = - 6 \\ x & = & 10^{1} \lor x = 10^{- 6} \\ x & = & 10 \lor x = 0, 000 001 \end{array}$

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet parentes l g parentes x parentes slutt parentes slutt i andre pluss 5 ganger l g parentes x parentes slutt minus 6 er lik 0. Svaret med Løs er x er lik 1 delt på 1000000 eller x er lik 10. Skjermutklipp.

d) Vi har gitt likningen $\lg x^{2} + 5 \lg x - 6 = 0$ .

1) For hvilke verdier av x er likningen gyldig?

Løsning

$\lg x$ er gyldig for $x > 0$ .

2) Løs likningen uten hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 \lg x + 5 \lg x - 6 & = & 0 \\ 7 \lg x & = & 6 \\ \lg x & = & \frac{6}{7} \\ x & = & 10^{\frac{6}{7}} \end{array}$

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet l g parentes x i andre parentes slutt pluss 5 ganger l g parentes x parentes slutt minus 6 er lik 0. Svaret med Løs er x er lik parentes sjuenderoten av 100 parentes slutt i tredje. Skjermutklipp.

Er dette samme svar som vi fikk uten hjelpemidler? Ja, fordi

$10^{\frac{6}{7}} = {(100^{\frac{1}{2}})}^{\frac{6}{7}} = 100^{\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{7}} = 100^{\frac{3}{7}} = {\sqrt[7]{100}}^{3}$

e) Vi har gitt likningen $\lg x^{4} - \lg x = 18$ .

1) For hvilke verdier av x er likningen gyldig?

Løsning

$\lg x$ er gyldig for $x > 0$ .

2) Løs likningen uten hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg x^{4} - \lg x & = & 18 \\ 4 \lg x - \lg x & = & 18 \\ 3 \lg x & = & 18 \\ \lg x & = & 6 \\ 10^{\lg x} & = & 10^{6} \\ x & = & 1 000 000 \end{array}$

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet 1 g parentes x i fjerde parentes slutt minus l g parentes x parentes slutt. Svaret med Løs er x er lik 1000000. Skjermutklipp.

f) Vi har gitt likningen $ln(4 x - 2) - \ln (2 x - 2) - 2 = 0$ .

1) For hvilke verdier av x er likningen gyldig?

Løsning

$\ln (4 x - 2)$ er gyldig når $4 x - 2 > 0$ , det vil si når $x > \frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x - 2)$ er gyldig når $2 x - 2 > 0$ , det vil si når $x > 1$ .

Det betyr at vi kun har løsning når $x > 1 .$

2) Løs likningen uten hjelpemidler.

Løsning

Her må vi lage potenser med e i stedet for 10 siden likningen inneholder den naturlige logaritmen ln.

$\begin{array}{rcl} \ln (4 x - 2) - \ln (2 x - 2) - 2 & = & 0 \\ \ln \frac{4 x - 2}{2 x - 2} & = & 2 \\ e^{\ln \frac{2 x - 1}{x - 1}} & = & e^{2} \\ \frac{2 x - 1}{x - 1} & = & e^{2} \\ 2 x - 1 & = & e^{2} \cdot (x - 1) \\ 2 x - e^{2} x & = & 1 - e^{2} \\ x (2 - e^{2}) & = & 1 - e^{2} \\ x & = & \frac{1 - e^{2}}{2 - e^{2}} \end{array}$

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet l n parentes 4 x minus 2 parentes slutt minus l n parentes 2 x minus 2 parentes slutt minus 2 er lik 0. Svaret med Løs er x er lik parentes e i andre minus 1 parentes slutt delt på parentes e i andre minus 2 parentes slutt. Skjermutklipp.

g) Vi har gitt likningen $lg (x + 2) + \lg (x - 1) = 1$ .

1) For hvilke verdier av $x$ er likningen gyldig?

Løsning

$\lg (x + 2)$ er gyldig når $x > - 2$ .

$\lg (x - 1)$ er gyldig når $x > 1$ .

Det betyr at vi kun har løsning når $x > 1 .$

2) Løs likningen uten hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} lg (x + 2) + \lg (x - 1) & = & 1 \\ \lg ((x + 2) \cdot (x - 1)) & = & 1 \\ 10^{\lg ((x + 2) \cdot (x - 1))} & = & 10^{1} \\ (x + 2) (x - 1) & = & 10 \\ x^{2} - x + 2 x - 2 & = & 10 \\ x^{2} + x - 12 & = & 0 \\ (x - 3) (x + 4) & = & 0 \\ x & = & 3 \lor x = - 4 \end{array}$

$x = - 4$ går ikke, siden det gir logaritmen til et negativt tall.

Løsningen er derfor $x = 3 .$

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet l g parentes x pluss 2 parentes slutt pluss l g parentes x minus 1 parentes slutt er lik 1. Svaret med Løs er x er lik 3. Skjermutklipp.

h) Vi har gitt likningen $\ln (3 x + 2) - \ln 2 x = 0$ .

1) For hvilke verdier av x er likningen gyldig?

Løsning

$\ln (3 x + 2)$ er gyldig når $3 x + 2 > 0$ , det vil si når $x > - \frac{2}{3}$ .

$\ln 2 x$ er gyldig når $x > 0$ .

Det betyr at vi kun har løsning når $x > 0 .$

2) Løs likningen ved regning.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \ln (3 x + 2) - \ln 2 x & = & 0 \\ ln \frac{3 x + 2}{2 x} & = & 0 \\ \frac{3 x + 2}{2 x} & = & 1 \\ 3 x + 2 & = & 2 x \\ x & = & - 2 \end{array}$

Siden kravet var at $x > 0$ , har likningen ingen løsning.

3) Løs likningen med CAS.

Løsning

Løsning med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet l n parentes 3 x pluss 2 parentes slutt minus l n parentes 2 x parentes slutt er lik 0. Svaret med Løs er ingen ting. Skjermutklipp.

Oppgave 3

Løs likningene uten hjelpemidler.

a) $10^{x} = 100$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 10^{x} & = & 100 \\ \lg 10^{x} & = & \lg 100 \\ x \lg 10 & = & \lg 100 \\ x & = & \frac{\lg 100}{\lg 10} \\ x & = & \frac{2}{1} \\ x & = & 2 \end{array}$

b) $10^{- 2 x} = 100$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 10^{- 2 x} & = & 100 \\ - 2 x \lg 10 & = & 2 \lg 10 \\ - 2 x & = & 2 \\ x & = & - 1 \end{array}$

c) $5^{x} = 125$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 5^{x} & = & 125 \\ \ln 5 & = & \ln 125 \\ x \ln 5 & = & 3 \ln 5 \\ x & = & \frac{3 \ln 5}{\ln 5} \\ x & = & 3 \end{array}$

d) $2,0 \cdot 0, 5^{x} = 16$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2,0 \cdot 0, 5^{x} & = & 16 \\ \lg (2,0 \cdot 0, 5^{x}) & = & \lg 16 \\ \lg 2 + \lg 0, 5^{x} & = & \lg 16 \\ \lg 2 + x \lg 0, 5 & = & \lg 16 \\ \lg 2 + x \lg \frac{1}{2} & = & \lg 2^{4} \\ \lg 2 + x (\lg 1 - \lg 2) & = & 4 \lg 2 \\ x (\lg 1 - \lg 2) & = & 4 \lg 2 - \lg 2 \\ x & = & \frac{3 \lg 2}{\lg 1 - \lg 2} \\ x & = & \frac{3 \lg 2}{- \lg 2} = - 3 \end{array}$

e) $\frac{1}{4} \cdot 4^{2 x} = 16$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{4} \cdot 4^{2 x} & = & 16 \\ 4^{2 x} & = & 4^{2} \cdot 4 \\ 4^{2 x} & = & 4^{3} \\ 2 x & = & 3 \\ x & = & \frac{3}{2} \end{array}$

Oppgave 4

Løs likningene uten hjelpemidler.

a) $4 \cdot 6^{x} = 36 \cdot 2^{x}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 6^{x} & = & 36 \cdot 2^{x} \\ 6^{x} & = & 9 \cdot 2^{x} \\ (2 \cdot 3)^{x} & = & 3^{2} \cdot 2^{x} \\ 2^{x} \cdot 3^{x} & = & 3^{2} \cdot 2^{x} \\ 3^{x} & = & 3^{2} \\ x & = & 2 \end{array}$

b) $2^{2 x} + 2^{x} - 6 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2^{2 x} + 2^{x} - 6 & = & 0 \\ {(2^{x})}^{2} + 2^{x} - 6 & = & 0 \end{array}$

Vi bruker abc-formelen for andregradslikninger.

$\begin{array}{rcl} (2^{x})^{2} + 2^{x} - 6 & = & 0 \\ 2^{x} & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} \\ 2^{x} & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2} \\ 2^{x} & = & \frac{- 1 + 5}{2} \lor 2^{x} = \frac{- 1 - 5}{2} \\ 2^{x} & = & 2 \lor 2^{x} = - 3 \end{array}$

$2^{x} = - 3$ har ingen løsning, siden $2^{x} > 0$ for alle x.

$\begin{array}{rcl} 2^{x} & = & 2 \\ x & = & 1 \end{array}$

c) $\begin{array}{rcl} e^{x} - 6 e^{- x} & = & 1 \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} e^{x} - 6 e^{- x} & = & 1 \\ e^{x} \cdot e^{x} - \frac{6}{e^{x}} \cdot e^{x} & = & 1 \cdot e^{x} \\ (e^{x})^{2} - 6 & = & e^{x} \\ (e^{x})^{2} - e^{x} - 6 & = & 0 \\ e^{x} & = & \frac{1 \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} \\ e^{x} & = & \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \\ e^{x} & = & 3 \lor e^{x} = - 2 \end{array}$

Vi får ingen løsning for $e^{x} = - 2$ .

$\begin{array}{rcl} e^{x} & = & 3 \\ \ln e^{x} & = & \ln 3 \\ x \cdot \ln e & = & \ln 3 \\ x & = & \ln 3 \end{array}$

d) $4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x} - 3 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x} - 3 & = & 0 \\ (4^{x})^{2} - 2 \cdot 4^{x} - 3 & = & 0 \\ 4^{x} & = & \frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1} \\ 4^{x} & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\ 4^{x} & = & 3 \lor 4^{x} = - 1 \\ \lg 4^{x} & = & \lg 3 \\ x & = & \frac{\lg 3}{\lg 4} \end{array}$

Oppgave 5

Løs likningene uten hjelpemidler og bruk en kalkulator til å finne tilnærmede verdier for løsningene. Husk at logaritmer bare er definert for positive tall.

a) $\lg x = 2, 24$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg x & = & 2, 24 \\ 10^{\lg x} & = & 10^{2, 24} \\ x & = & 173, 78 \end{array}$

b) $\ln x = - 1, 85$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \ln x & = & - 1, 85 \\ e^{\ln x} & = & e^{- 1, 85} \\ x & = & 0, 16 \end{array}$

c) $2 \cdot \lg x = 0, 24$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \lg x & = & 0, 24 \\ \lg x & = & \frac{0, 24}{2} \\ 10^{\lg x} & = & 10^{0, 12} \\ x & = & 1, 32 \end{array}$

d) $2 \cdot \lg x + 0, 12 = 0, 24$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \lg x + 0, 12 & = & 0, 24 \\ \lg x + 0, 06 & = & 0, 12 \\ \lg x & = & 0, 06 \\ 10^{\lg x} & = & 10^{0, 06} \\ x & = & 1, 15 \end{array}$

e) $2 \cdot \ln x - 2, 0 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \ln x - 2, 0 & = & 0 \\ \ln x - 1 & = & 0 \\ \ln x & = & 1 \\ e^{\ln x} & = & e^{1} \\ x & = & e \\ x & = & 2, 72 \end{array}$

f) $2 \cdot \lg x^{2} - 3 \lg x = 0, 24$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \lg x^{2} - 3 \lg x & = & 0, 24 \\ 2 \cdot 2 \lg x - 3 \lg x & = & 0, 24 \\ \lg x & = & 0, 24 \\ 10^{\lg x} & = & 10^{0, 24} \\ x & = & 1, 74 \end{array}$

g) $\lg x^{2} - \lg 2 x = \lg 8$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg x^{2} - \lg 2 x & = & \lg 8 \\ 2 \lg x - (\lg 2 + \lg x) & = & \lg 8 \\ 2 \lg x - \lg 2 - \lg x & = & \lg 2^{3} \\ \lg x & = & 3 \lg 2 + \lg 2 \\ = & 4 \lg 2 \\ = & \lg 2^{4} \\ 10^{\lg x} & = & 10^{\lg 2^{4}} \\ x & = & 16 \end{array}$

h) $\lg \frac{x}{2} - 2 \lg x + \lg 4 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg \frac{x}{2} - 2 \lg x + \lg 4 & = & 0 \\ \lg x - \lg 2 - 2 \lg x + \lg 2^{2} & = & 0 \\ - \lg x - \lg 2 + 2 \lg 2 & = & 0 \\ - \lg x + \lg 2 & = & 0 \\ \lg 2 & = & \lg x \\ 10^{\lg 2} & = & 10^{\lg x} \\ 2 & = & x \end{array}$

Oppgave 6

Vurder løsningsforslagene og diskuter hva elevene har tenkt. Hvilke logaritmeregler må man bruke? Klarer du å lage et bedre løsningsforslag? Oppgaven egner seg fint for diskusjon i små grupper.

Løsning

Løsning på oppgave 1:

$\begin{array}{rcl} 7^{x} & = & 3^{x + 1} \\ \lg 7^{x} & = & \lg 3^{x + 1} \\ x \lg 7 & = & (x + 1) \lg 3 \\ x \lg 7 & = & x \lg 3 + \lg 3 \\ x \lg 7 - x \lg 3 & = & \lg 3 \\ x (\lg 7 - \lg 3) & = & \lg 3 \\ x & = & \frac{\lg 3}{\lg 7 - \lg 3} \end{array}$

Løsning på oppgave 2: Se Idas løsningsforslag.

Løsning på oppgave 3: Se Sanders løsningsforslag.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.