Ulikskapar med logaritmeuttrykk

Innleiing

Når vi løyser likningar med logaritmar, utnyttar vi at to tiarpotensar med like eksponentar er like.

Eksempel

Vi skal løyse likninga $\lg x=2$. Vi ser at vi må kreve at $x>0$ og bruker at to tiarpotensar med like eksponentar er like:

$\begin{array}{rcl} \lg x& = & 2\\ & & \\ {10}^{\lg x}& =& {10}^2\\ & & \\ x& =& 100\end{array}$

Vi veit at funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)={10}^x$ veks i heile definisjonsområdet. Det vil seie at dersom $a>b$, så er ${10}^a>{10}^b$, og tilsvarande dersom $a<b$, så er ${10}^a<{10}^b$. Dette får vi bruk for når vi skal løyse ulikskapar med logaritmeuttrykk.

Døme 1

Så prøver vi oss på ein tilsvarande ulikskap.

$\lg x<2$

Igjen noterer vi oss at vi må kreve at $x>0$. Så bruker vi at dersom $a<b$, så er ${10}^a<{10}^b$.

${10}^{\lg x}<{10}^2$

Vi bruker definisjonen på logaritmar og forenklar venstre side:

$x<100$

Løysinga blir

$x\in ⟨0, 100⟩$

Døme 2

$\lg x^2+2\lg x>0$

Kravet må vere at $x>0$. Vi bruker tredje logaritmesetning og trekkjer saman:

$\begin{array}{rcl}2\lg x+2\lg x & >& 2\\ 4\lg x & >& 2\\ \lg x & >& \frac{1}{2}\end{array}$

Vi bruker at $a>b \iff {10}^a>{10}^b$ og forenklar:

$\begin{array}{rcl}{10}^{\lg x} & >& {10}^{\frac{1}{2}}\\ x & >& \sqrt{10}\end{array}$

Løysinga blir

$x\in ⟨\sqrt{10}, \to ⟩$

Døme 3

$\lg \left(x+2\right)-\lg 2<2$

Kravet må vere at $x>-2$. Vi bruker andre logaritmesetning baklengs og deretter at $a>b \iff {10}^a>{10}^b$:

$\begin{array}{rcl}\lg \left(\frac{x+2}{2}\right) & >& 2\\ {10}^{\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)} & >& {10}^2\end{array}$

Vi bruker definisjonen på logaritmar og forenklar:

$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{2} & <& 100\\ x+2 & <& 200\\ x & <& 198\end{array}$

Løysinga blir

$x\in ⟨-2, 198⟩$

Døme 4

$\lg x+\lg \left(5-x\right)\ge \lg 6$

Kravet må vere at $0<x<5$. Vi bruker første logaritmesetning baklengs, lagar tiarpotensar og forenklar:

$\begin{array}{rcl}\lg \left(x·\left(5-x\right)\right) & \ge & \lg 6\\ {10}^{\lg \left(x·\left(5-x\right)\right)} & \ge & {10}^{\lg 6}\\ x\left(5-x\right) & \ge & 6\\ -x^2+5x-6 & \ge & 0\end{array}$

Vi set

$-x^2+5x-6=0 \Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{-2} \Rightarrow x_1=2 , x_2=3$

Ulikskapen blir då slik:

$-\left(x-2\right)\left(x-3\right)⩾0$

Uttrykket på venstre side er eit andregradsuttrykk med negativ koeffisient framfor andregradsleddet. Då veit vi at uttrykket har eit toppunkt midt mellom nullpunkta. Nedanfor har vi teikna ei forteiknslinje for andregradsuttrykket. Legg merke til at vi berre treng å lage forteiknslinja frå 0 til 5.

Ulikskapen spør etter når andregradsuttrykket er større enn eller lik 0. Løysinga blir

$x\in \left[2, 3\right]$

Ulikskapar kan også løysast grafisk

I koordinatsystemet nedanfor har vi teikna grafen av funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=\lg x+\lg \left(5-x\right)$ (utrykket på venstre side i ulikskapen ovanfor). I tillegg har vi teikna den vassrette linja $y=\lg 6$ (høgre side i ulikskapen).

Vi ser også grafisk at $\lg x+\lg \left(5-x\right)⩾\lg 6$ for $x\in \left[2, 3\right]$.

Med CAS i GeoGebra får vi same svar.

Døme 5

Vi ønskjer å løyse andregradsulikskapen ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3<0 , x>0$.

Først finn vi nullpunkta til uttrykket på venstre side, vi løyser likninga ${\left(\lg x\right)}^2+2\lg x-3=0$. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å setje $u=\lg x$.

$\begin{array}{rcl}u& = & \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2·1}\\ u& =& \frac{-2\pm 4}{2}=-1\pm 2 \end{array}$

Vi får at

$\begin{array}{rcl}\lg x & =& 1 \vee \lg x=-3\\ x & =& {10}^1 \vee x={10}^{-3}\\ x & =& 10 \vee x=0,001\end{array}$

Grafen av funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)={\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3$ er samanhengande, derfor er det berre i nullpunkta at uttrykket ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3$ kan skifte forteikn.

Vi tek "stikkprøver" i intervalla $⟨0, 0.001⟩$, $⟨0.001, 10⟩$ og $⟨10, \to ⟩$, og lagar forteiknsskjema.

For $x=0,0001$ får vi

$\begin{array}{rcl}{\left(\lg 0,0001\right)}^2& +& 2 \lg 0,0001-3\\ & =& {\left(-4\right)}^2+2·\left(-4\right)-3\\ & =& 16-8-3\\ & =& 5\end{array}$

Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi

${\left(\lg 1\right)}^2+2\lg 1-3=0^2+2·0-3=-3$

Uttrykket er negativt.

For $x=100$ får vi

${\left(\lg 100\right)}^2+2 \lg 100-3=3^2+2·2-3=5$

Uttrykket er positivt.

Nedanfor har vi illustrert dette i eit forteiknsskjema.

Ulikskapen spør etter når $(\lg x{)}^2+2\lg x-3<0$. Løysing:$x\in ⟨0.001, 10⟩$

Nedanfor har vi teikna grafen av uttrykket ${\left(\lg x\right)}^2+2 \lg x-3$. Det er vanskeleg å finne begge nullpunkta i same bildet. Vi har derfor først teikna grafen og funne det eine nullpunktet $\left(10, 0\right)$, så har vi teikna eit forstørra bilde av grafen i eit lite område for å finne det andre nullpunktet $\left(0.001, 0\right)$.

Vi ser av grafene at løysinga stemmer.

Med CAS i GeoGebra får vi same løysing.