Omvendte funksjoner

Vi ser på funksjonen $f\left(x\right)=2x$.

Setter vi tallet 3 inn for $x$ i $f\left(x\right)$, får vi ut tallet 6: $f\left(3\right)=6$. På samme måte er $f\left(5\right)=10$ og $f\left(8\right)=16$.

Finnes det en regneoperasjon som vi kan utføre på alle de tre tallene 6, 10 og 16 for å få dem tilbake til tallene 3, 5 og 8?

Vi kan se at hvis vi setter dem inn i funksjonen $g\left(x\right)=\frac{x}{2}$, får vi de ønskede tallene:

$\begin{array}{cccccc} & g\left(6\right)=3& & g\left(10\right)=5& & g\left(16\right)=8\\ & & & & & \\ & g\left(f\left(3\right)\right)=3& & g\left(f\left(5\right)\right)=5& & g\left(f\left(8\right)\right)=8\end{array}$

Generelt får vi at $g\left(f\left(x\right)\right)=x$. Funksjonen $g$ "gjør godt igjen" det funksjonen $f$ gjør med $x$.

Vi sier at $f$ og $g$ er omvendte eller inverse funksjoner. Funksjonen$f$sender$x$til$2x$, mens den omvendte funksjonen sender$2x$tilbake til$x$.

En vanlig skrivemåte for den omvendte funksjonen til$f$er$f^{-1}$.

Det betyr at vi kan skrive$g\left(x\right)$som$f^{-1}\left(x\right)$.

I eksempelet ovenfor var det ikke så komplisert å se hva den omvendte, eller inverse, funksjonen måtte være, men vi kan også finne den inverse funksjonen algebraisk.

Vi viser en framgangsmåte du generelt kan bruke for å finne inverse funksjoner. Vi bruker eksempelet ovenfor.

$\begin{array}{lcccc}\text{Du setter}& & f\left(x\right)=y.& & \\ & & & & \\ \text{Da er }& & y=2x.& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=\frac{y}{2}.& & \text{Du løser altså likningen med hensyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & f^{-1}\left(y\right)=\frac{y}{2}.& & \text{Sida } f^{-1}\left(y\right)=x.\end{array}$

Vi kan nå bytte $y \text{med} x$, som er den mest vanlige bokstaven for den variable, og vi får funksjonen $f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}$.

I GeoGebra kan du finne den omvendte funksjonen ved å bruke kommandoen invers():

Symmetri i omvendte funksjoner

Vi har nedenfor tegnet grafene til funksjonen  $f\left(x\right)=2x$  og dens omvendte funksjon. Videre har vi tegnet grafen til  $y=x$, et tilfeldig punkt $A$ på denne linja og en normal til linja gjennom punkt $A$. Vi har også tegnet skjæringspunktene $B$ og $C$ mellom normalen og grafene til $f$ og dens omvendte funksjon.

Flytt punktet $A$ på linja til  $y=x$. Hva oppdager du?

• Omvendte funksjoner(GGB)

Uansett hvor punktet $A$ befinner seg på linja $h$, er  $AB=AC$. Det betyr at grafen til $f$ og grafen til den omvendte funksjonen alltid ligger symmetrisk om linja  $y=x$.

Ved å speile grafen til $f$ om linja  $y=x$, får vi grafen til den omvendte funksjonen.

Hvis $\left(x, y\right)$ er et punkt på grafen til $f$, er $\left(y, x\right)$ et punkt på grafen til den omvendte funksjonen. Disse punktene ligger symmetrisk om  $y=x$.

For eksempel er $\left(2, 4\right)$ et punkt på grafen til $f$ og $\left(4, 2\right)$ et punkt på grafen til $g$. Flytt på punktet $A$ på figuren, og sjekk om det stemmer.

Oppgave

Følg prosedyren ovenfor, og gjør det samme med grafene til funksjonene 

$g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$

og

$h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty , 0]$ 

og deres omvendte funksjoner.

Oppdager du det samme her?

Eksponential- og logaritmefunksjonen

Vi ser på eksponentialfunksjonen 

$f\left(x\right)=e^x , x\in \mathrm{ℝ}$

og logaritmefunksjonen

$g\left(x\right)=\ln x , x\in \langle 0, \infty \rangle$

Da er

$f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\ln x\right)=e^{\ln x}\stackrel{def}{=}x$

og

$g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(e^x\right)=\ln e^x=x·\ln e=x·1=x$

Dette viser at  $f\left(x\right)=e^x$  og  $g\left(x\right)=\ln x$  er omvendte funksjoner.

Prøv å laste ned GeoGebra-arket over og endre funksjonene, så kan du se at det stemmer.

Utforsking av omvendte funksjoner med Python

På oppgavesida Utforsk omvendte funksjoner kan du blant annet bruke Python til å jobbe mer med omvendte funksjoner før du går videre.