Omvende funksjonar

Vi ser på funksjonen $f\left(x\right)=2x$.

Set vi talet 3 inn for $x$ i $f\left(x\right)$, får vi ut talet 6: $f\left(3\right)=6$. På same måte er $f\left(5\right)=10$ og $f\left(8\right)=16$.

Finst det ein rekneoperasjon som vi kan utføre på alle dei tre tala 6, 10 og 16 for å få dei tilbake til tala 3, 5 og 8?

Vi kan sjå at dersom vi set dei inn i funksjonen $g\left(x\right)=\frac{x}{2}$, får vi dei ønskte tala:

$\begin{array}{cccccc} & g\left(6\right)=3& & g\left(10\right)=5& & g\left(16\right)=8\\ & & & & & \\ & g\left(f\left(3\right)\right)=3& & g\left(f\left(5\right)\right)=5& & g\left(f\left(8\right)\right)=8\end{array}$

Generelt får vi at $g\left(f\left(x\right)\right)=x$. Funksjonen $g$ "gjer godt igjen" det funksjonen $f$ gjer med $x$.

Vi seier at $f$ og $g$ er omvende eller inverse funksjonar. Funksjonen$f$sender$x$til$2x$, mens den omvende funksjonen sender$2x$tilbake til$x$.

Ein vanleg skrivemåte for den omvende funksjonen til$f$er$f^{-1}$.

Det betyr at vi kan skrive$g\left(x\right)$som$f^{-1}\left(x\right)$.

I dømet ovanfor var det ikkje så komplisert å sjå kva den omvende, eller inverse, funksjonen måtte vere, men vi kan òg finne den inverse funksjonen algebraisk.

Vi viser ein framgangsmåte du generelt kan bruke for å finne inverse funksjonar. Vi bruker dømet ovanfor.

$\begin{array}{lcccc}\text{Du set}& & f\left(x\right)=y.& & \\ & & & & \\ \text{Då er }& & y=2x.& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=\frac{y}{2}.& & \text{Du løyser altså likninga med omsyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & f^{-1}\left(y\right)=\frac{y}{2}.& & \text{Sida } f^{-1}\left(y\right)=x.\end{array}$

Vi kan no byte $y \text{med} x$, som er den mest vanlege bokstaven for den variable, og vi får funksjonen $f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}$.

I GeoGebra kan du finne den omvende funksjonen ved å bruke kommandoen invers():

Symmetri i omvende funksjonar

Nedanfor har vi teikna grafane til funksjonen  $f\left(x\right)=2x$  og den tilhøyrande omvende funksjonen. Vidare har vi teikna grafen til  $y=x$, eit tilfeldig punkt $A$ på denne linja og ein normal til linja gjennom punkt $A$. Vi har òg teikna skjeringspunkta $B$ og $C$ mellom normalen og grafane til $f$ og den omvende funksjonen til $f$.

Flytt punktet $A$ på linja til  $y=x$. Kva oppdagar du?

• Omvende funksjonar(GGB)

Uansett kvar punktet $A$ er på linja $h$, er  $AB=AC$. Det betyr at grafen til $f$ og grafen til den omvende funksjonen alltid ligg symmetrisk om linja  $y=x$.

Ved å spegle grafen til $f$ om linja  $y=x$, får vi grafen til den omvende funksjonen.

Dersom $\left(x, y\right)$ er eit punkt på grafen til $f$, er $\left(y, x\right)$ eit punkt på grafen til den omvende funksjonen. Desse punkta ligg symmetrisk om  $y=x$.

Til dømes er $\left(2, 4\right)$ eit punkt på grafen til $f$ og $\left(4, 2\right)$ eit punkt på grafen til $g$. Flytt på punktet $A$ på figuren, og sjekk om det stemmer.

Oppgåve

Følg prosedyren ovanfor, og gjer det same med grafane til funksjonane 

$g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$

og

$h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty , 0]$ 

og dei omvende funksjonane deira.

Oppdagar du det same her?

Eksponential- og logaritmefunksjonen

Vi ser på eksponentialfunksjonen 

$f\left(x\right)=e^x , x\in \mathrm{ℝ}$

og logaritmefunksjonen

$g\left(x\right)=\ln x , x\in \langle 0, \infty \rangle$

Då er

$f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\ln x\right)=e^{\ln x}\stackrel{def}{=}x$

og

$g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(e^x\right)=\ln e^x=x·\ln e=x·1=x$

Dette viser at  $f\left(x\right)=e^x$  og  $g\left(x\right)=\ln x$  er omvende funksjonar.

Prøv å laste ned GeoGebra-arket over og endre funksjonane, så kan du sjå at det stemmer.

Utforsking av omvende funksjonar med Python

På oppgåvesida Utforsk omvende funksjoner kan du mellom anna bruke Python til å jobbe meir med omvende funksjonar før du går vidare.