Oppgåve

Omvende funksjonar

Her kan du jobbe med oppgåver om omvende funksjonar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 3 x + 4$ . Avgjer kva for ein av funksjonane nedanfor som er den omvende funksjonen $f^{- 1} (x)$ .

1) $g (x) = - \frac{1}{3} x - 4$

2) $h (x) = - \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$

3) $i (x) = \frac{1}{3} x + 4$

4) $j (x) = \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$

Løysing

Det er funksjon nummer 4, $j (x)$ , som er den omvende funksjonen.

Vi kan vise det slik:

$\begin{array}{l} j (f (x)) = \frac{1}{3} (f (x)) - \frac{4}{3} \\ j (f (x)) = \frac{1}{3} (3 x + 4) - \frac{4}{3} \\ j (f (x)) = \frac{1 \cdot 3}{3} x + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = x \end{array}$

Oppgåve 2

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 4 x - 2$ .

a) Fyll ut verditabellen under.

Verditabell
x	$f (x)$
$- 2$
$- 1$
0
1
2

Løysing

Verditabell
x	$f (x)$
$- 2$	$- 10$
$- 1$	$- 6$
0	$- 2$
1	2
2	6

b) Fyll ut verditabellen under utan å rekne ut den omvende funksjonen.

Verditabell
x	$f^{- 1} (x)$
	$- 2$
	$- 1$
	0
	1
	2

Løysing

Vi bruker at den omvende funksjonen og funksjonen sjølv er symmetriske om linja $y = x$ .

Verditabell
x	$f^{- 1} (x)$
$- 10$	$- 2$
$- 6$	$- 1$
$- 2$	0
2	1
6	2

c) Rekn ut den omvende funksjonen, og sjekk at du får tabellen i b).

Løysing

Vi finn først den omvende funksjonen:

$\begin{array}{l} f (x) = y \\ 4 x - 2 = y \\ 4 x = y + 2 \\ x = \frac{1}{4} y + \frac{1}{2} \\ f^{- 1} (x) = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \end{array}$

Så reknar vi ut alle funksjonsverdiane i tabellen:

$\begin{array}{l} f^{- 1} (- 10) = \frac{1}{4} \cdot (- 10) + \frac{1}{2} = - \frac{10}{4} + \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = - 2 \\ f^{- 1} (- 6) = \frac{1}{4} \cdot (- 6) + \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 1 \\ f^{- 1} (- 2) = \frac{1}{4} \cdot (- 2) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \\ f^{- 1} (2) = \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{2} = 1 \\ f^{- 1} (6) = \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \end{array}$

d) Teikn inn alle punkta frå tabellane i a) og b) i eit koordinatsystem saman med linja $y = x$ . Teikn normalar frå alle punkta til linja, og mål avstanden mellom punkta og linja. Kva observerer du?

Løysing

Vi observerer at for kvart par av punkt er avstanden frå punktet til linja lik.

Oppgåve 3

a) Vis ved rekning at funksjonen $g (x) = \frac{1}{a} x - \frac{b}{a}$ er den omvende funksjonen til ein lineær funksjon $f (x) = a x + b .$

Løysing

Vi har at $f^{- 1} (f (x)) = x$ .

Vi får då at

$\begin{array}{l} g (f (x)) = g (a x + b) \\ g (f (x)) = \frac{1}{a} (a x + b) - \frac{b}{a} \\ g (f (x)) = \frac{1}{a} \cdot a \cdot x + \frac{b}{a} - \frac{b}{a} = x \end{array}$

som var det vi skulle vise.

b) Lag glidarar for a og b i GeoGebra, og skriv inn dei to funksjonane frå a). Observer at uansett kva du gjer med dei to glidarane, vil grafane liggje symmetriske om linja $y = x$ .

Oppgåve 4

Finn dei omvende funksjonane til funksjonane under for hand og ved hjelp av GeoGebra. Teikn grafane til funksjonen og den omvende funksjonen, og observer symmetrien:

a) $f (x) = x^{3}$

Løysing

Vi løyser likninga for $x$ :

$\begin{array}{l} y = x^{3} \\ x^{3} = y \\ x = \sqrt[3]{y} \end{array}$

Dette gir $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ .

I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f) og får det følgjande grafbiletet:

To funksjonar i GeoGebra. f av x er blå og lik x i tredje. g av x er svart og lik tredjerota av x. Dei to grafane er symmetriske om linja y er lik x som er teikna inn som ei stipla linje. Skjermutklipp.

b) $g (x) = \sqrt{x}$

Løysing

Her viser vi berre løysinga for hand.

Vi veit her at både x og y er positive tal. (Lurer du på kvifor? Tenk gjennom kva tal som har kvadratrøter, og kva tal som kan vere kvadratrøter.)

Vi løyser for x igjen:

$\begin{array}{l} y = \sqrt{x} \\ \sqrt{x} = y \\ x = y^{2} \end{array}$

Vi får altså at $g^{- 1} (x) = x^{2}, x \geq 0$ .

c) $h (x) = 5 x + 5$

Løysing

Vi viser berre løysinga for hand.

Vi bruker regelen vi viste i 3.3.12 og får

$h^{- 1} (x) = \frac{1}{5} x - \frac{5}{5} = \frac{1}{5} x - 1$

Oppgåve 5

På teorisida "Omvende funksjonar" finn du eit GeoGebra-ark vi har brukt til å utforske omvende funksjonar. Eit slikt kan du lage sjølv òg, og her kan du bruke det til å utforske andre logaritmefunksjonar enn den naturlege logaritmen. (Denne oppgåva er utforskande og har ikkje løysingsforslag)

I GeoGebra kan du definere talet a som ein "glidar". Så kan du definere funksjonane $a^{x}$ og $\log_{a} (x)$ , logaritmefunksjonen med a som grunntal.
Kva grunntal er moglege?
Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvende funksjonar. Korleis kan du vise geometrisk at funksjonane er omvende av kvarandre?
Kva grunntal utanom e er du kjend med frå før?
Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntalet, er omvende funksjonar.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokumenter.

Omvende funksjonar(DOCX)
Omvende funksjonar(PDF)

Oppgåve

Omvende funksjonar

Her kan du jobbe med oppgåver om omvende funksjonar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 3 x + 4$ . Avgjer kva for ein av funksjonane nedanfor som er den omvende funksjonen $f^{- 1} (x)$ .

1) $g (x) = - \frac{1}{3} x - 4$

2) $h (x) = - \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$

3) $i (x) = \frac{1}{3} x + 4$

4) $j (x) = \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$

Løysing

Oppgåve 2

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 4 x - 2$ .

a) Fyll ut verditabellen under.

Verditabell
x	$f (x)$
$- 2$
$- 1$
0
1
2

Løysing

Verditabell
x	$f (x)$
$- 2$	$- 10$
$- 1$	$- 6$
0	$- 2$
1	2
2	6

b) Fyll ut verditabellen under utan å rekne ut den omvende funksjonen.

Verditabell
x	$f^{- 1} (x)$
	$- 2$
	$- 1$
	0
	1
	2

Løysing

Vi bruker at den omvende funksjonen og funksjonen sjølv er symmetriske om linja $y = x$ .

Verditabell
x	$f^{- 1} (x)$
$- 10$	$- 2$
$- 6$	$- 1$
$- 2$	0
2	1
6	2

c) Rekn ut den omvende funksjonen, og sjekk at du får tabellen i b).

Løysing

Vi finn først den omvende funksjonen:

$\begin{array}{l} f (x) = y \\ 4 x - 2 = y \\ 4 x = y + 2 \\ x = \frac{1}{4} y + \frac{1}{2} \\ f^{- 1} (x) = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \end{array}$

Så reknar vi ut alle funksjonsverdiane i tabellen:

Løysing

Vi observerer at for kvart par av punkt er avstanden frå punktet til linja lik.

Oppgåve 3

a) Vis ved rekning at funksjonen $g (x) = \frac{1}{a} x - \frac{b}{a}$ er den omvende funksjonen til ein lineær funksjon $f (x) = a x + b .$

Løysing

Vi har at $f^{- 1} (f (x)) = x$ .

Vi får då at

$\begin{array}{l} g (f (x)) = g (a x + b) \\ g (f (x)) = \frac{1}{a} (a x + b) - \frac{b}{a} \\ g (f (x)) = \frac{1}{a} \cdot a \cdot x + \frac{b}{a} - \frac{b}{a} = x \end{array}$

som var det vi skulle vise.

b) Lag glidarar for a og b i GeoGebra, og skriv inn dei to funksjonane frå a). Observer at uansett kva du gjer med dei to glidarane, vil grafane liggje symmetriske om linja $y = x$ .

Oppgåve 4

Finn dei omvende funksjonane til funksjonane under for hand og ved hjelp av GeoGebra. Teikn grafane til funksjonen og den omvende funksjonen, og observer symmetrien:

a) $f (x) = x^{3}$

Løysing

Vi løyser likninga for $x$ :

$\begin{array}{l} y = x^{3} \\ x^{3} = y \\ x = \sqrt[3]{y} \end{array}$

Dette gir $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ .

I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f) og får det følgjande grafbiletet:

b) $g (x) = \sqrt{x}$

Løysing

Her viser vi berre løysinga for hand.

Vi veit her at både x og y er positive tal. (Lurer du på kvifor? Tenk gjennom kva tal som har kvadratrøter, og kva tal som kan vere kvadratrøter.)

Vi løyser for x igjen:

$\begin{array}{l} y = \sqrt{x} \\ \sqrt{x} = y \\ x = y^{2} \end{array}$

Vi får altså at $g^{- 1} (x) = x^{2}, x \geq 0$ .

c) $h (x) = 5 x + 5$

Løysing

Vi viser berre løysinga for hand.

Vi bruker regelen vi viste i 3.3.12 og får

$h^{- 1} (x) = \frac{1}{5} x - \frac{5}{5} = \frac{1}{5} x - 1$

Oppgåve 5

I GeoGebra kan du definere talet a som ein "glidar". Så kan du definere funksjonane $a^{x}$ og $\log_{a} (x)$ , logaritmefunksjonen med a som grunntal.
Kva grunntal er moglege?
Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvende funksjonar. Korleis kan du vise geometrisk at funksjonane er omvende av kvarandre?
Kva grunntal utanom e er du kjend med frå før?
Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntalet, er omvende funksjonar.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokumenter.

Omvende funksjonar(DOCX)
Omvende funksjonar(PDF)