Oppgave

Omvendte funksjoner

Her kan du jobbe med oppgaver om omvendte funksjoner.

3.3.10

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 3 x + 4$ . Avgjør hvilken av funksjonene nedenfor som er den omvendte funksjonen $f^{- 1} (x)$ .

1) $g (x) = - \frac{1}{3} x - 4$

2) $h (x) = - \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$

3) $i (x) = \frac{1}{3} x + 4$

4) $j (x) = \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$

Løsning

Det er funksjon nummer 4, $j (x)$ , som er den omvendte funksjonen.

Vi kan vise det slik:

$\begin{array}{l} j (f (x)) = \frac{1}{3} (f (x)) - \frac{4}{3} \\ j (f (x)) = \frac{1}{3} (3 x + 4) - \frac{4}{3} \\ j (f (x)) = \frac{1 \cdot 3}{3} x + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = x \end{array}$

3.3.11

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 4 x - 2$ .

a) Fyll ut verditabellen under.

Verditabell
x	$f (x)$
$- 2$
$- 1$
0
1
2

Løsning

Verditabell
x	$f (x)$
$- 2$	$- 10$
$- 1$	$- 6$
0	$- 2$
1	2
2	6

b) Fyll ut verditabellen under uten å regne ut den omvendte funksjonen.

Verditabell
x	$f^{- 1} (x)$
	$- 2$
	$- 1$
	0
	1
	2

Løsning

Vi bruker at den omvendte funksjonen og funksjonen selv er symmetrisk om linja $y = x$ .

Verditabell
x	$f^{- 1} (x)$
$- 10$	$- 2$
$- 6$	$- 1$
$- 2$	0
2	1
6	2

c) Regn ut den omvendte funksjonen, og sjekk at du får tabellen i b).

Løsning

Vi finner først den omvendte funksjonen:

$\begin{array}{l} f (x) = y \\ 4 x - 2 = y \\ 4 x = y + 2 \\ x = \frac{1}{4} y + \frac{1}{2} \\ f^{- 1} (x) = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \end{array}$

Så regner vi ut alle funksjonsverdiene i tabellen:

$\begin{array}{l} f^{- 1} (- 10) = \frac{1}{4} \cdot (- 10) + \frac{1}{2} = - \frac{10}{4} + \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = - 2 \\ f^{- 1} (- 6) = \frac{1}{4} \cdot (- 6) + \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 1 \\ f^{- 1} (- 2) = \frac{1}{4} \cdot (- 2) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \\ f^{- 1} (2) = \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{2} = 1 \\ f^{- 1} (6) = \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \end{array}$

d) Tegn inn alle punktene fra tabellene i a) og b) i et koordinatsystem sammen med linja $y = x$ . Tegn normaler fra alle punktene til linja, og mål avstanden mellom punktene og linja. Hva observerer du?

Løsning

Vi observerer at for hvert par av punkter er avstanden fra punktet til linja lik.

3.3.12

a) Vis ved regning at funksjonen $g (x) = \frac{1}{a} x - \frac{b}{a}$ er den omvendte funksjonen til en lineær funksjon $f (x) = a x + b .$

Løsning

Vi har at $f^{- 1} (f (x)) = x$ .

Vi får da at

$\begin{array}{l} g (f (x)) = g (a x + b) \\ g (f (x)) = \frac{1}{a} (a x + b) - \frac{b}{a} \\ g (f (x)) = \frac{1}{a} \cdot a \cdot x + \frac{b}{a} - \frac{b}{a} = x \end{array}$

som var det vi skulle vise.

b) Lag glidere for a og b i GeoGebra, og skriv inn de to funksjonene fra a). Observer at uansett hva du gjør med de to gliderne, vil grafene ligge symmetrisk om linja $y = x$ .

3.3.13

Finn de omvendte funksjonene til funksjonene under for hånd og ved hjelp av GeoGebra. Tegn grafene til funksjonen og den omvendte funksjonen, og observer symmetrien:

a) $f (x) = x^{3}$

Løsning

Vi løser ligningen for $x$ :

$\begin{array}{l} y = x^{3} \\ x^{3} = y \\ x = \sqrt[3]{y} \end{array}$

Dette gir $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ .

I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f) og får følgende grafbilde:

To funksjoner i GeoGebra. f av x er blå og lik x i tredje. g av x er svart og lik tredjerota av x. De to grafene er symmetriske om linja y er lik x som er tegnet inn som ei stiplet linje. Skjermutklipp.

b) $g (x) = \sqrt{x}$

Løsning

Her viser vi bare løsningen for hånd.

Vi vet her at både x og y er positive tall. (Lurer du på hvorfor? Tenk gjennom hvilke tall som har kvadratrøtter, og hvilke tall som kan være kvadratrøtter.)

Vi løser for x igjen:

$\begin{array}{l} y = \sqrt{x} \\ \sqrt{x} = y \\ x = y^{2} \end{array}$

Vi får altså at $g^{- 1} (x) = x^{2}, x \geq 0$ .

c) $h (x) = 5 x + 5$

Løsning

Vi viser bare løsningen for hånd.

Vi bruker regelen vi viste i 3.3.12 og får

$h^{- 1} (x) = \frac{1}{5} x - \frac{5}{5} = \frac{1}{5} x - 1$

3.3.14

På teorisida "Omvendte funksjoner" finner du et GeoGebra-ark vi har brukt til å utforske omvendte funksjoner. Et slikt kan du lage selv også, og her kan du bruke det til å utforske andre logaritmefunksjoner enn den naturlige logaritmen. (Denne oppgaven er utforskende og har ikke løsningsforslag)

I GeoGebra kan du definere tallet a som en "glider". Så kan du definere funksjonene $a^{x}$ og $\log_{a} (x)$ , logaritmefunksjonen med a som grunntall.
Hvilke grunntall er mulige?
Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvendte funksjoner. Hvordan kan du vise geometrisk at funksjonene er omvendte av hverandre?
Hvilket grunntall utenom e er du kjent med fra tidligere?
Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntallet, er omvendte funksjoner.