Den deriverte til omvende funksjonar

Samanhengen mellom den deriverte til ein funksjon og den deriverte til den omvende funksjonen

La $g\left(x\right)$ vere den omvende funksjonen til $f\left(x\right)$. Då er $g\left(f\left(x\right)\right)=x$. Vi deriverer begge sider av likninga. På venstre side bruker vi kjerneregelen. På høgre side får vi 1.

$\begin{array}{rcl}g\left(f\left(x\right)\right) & =& x\\ & \Downarrow & \\ {\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)}^{\text{'}} & =& x^{\text{'}} \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 1 \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right) & =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\end{array}$

Den deriverte til den omvende funksjonen er med andre ord lik $\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$.

Når vi veit dette, kan vi finne den deriverte til den omvende funksjonen i eit punkt ut frå den deriverte til funksjonen, utan å gå vegen om å finne den omvende funksjonen og så derivere denne. Dersom vi allereie kjenner den omvende funksjonen, kan vi sjølvsagt derivere denne på vanleg måte.

Vi tek utgangspunkt i funksjonen

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}-2, D_f=\mathrm{ℝ}$

og finn $f\left(1\right), f^{\text{'}}\left(x\right) \mathrm{og} f^{\text{'}}\left(1\right)$:

$\begin{array}{l}f\left(1\right)=\sqrt[3]{1}-2=1-2=-1\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}}=\frac{1}{3}\end{array}$

Vi har no det vi treng for å finne den deriverte til den omvende funksjonen for $x=-1$, $g^{\text{'}}(-1)$ ut frå formelen:

$\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(1\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\end{array}$

Vi ser at vi har funne den deriverte til den omvende funksjonen i eit punkt, utan å måtte finne den omvende funksjonen.

Sidan f og g er omvende funksjonar, ligg grafane symmetrisk om linja $y=x$. Då må òg tangentane til grafane i punkta A og B (sjå grafen) liggje symmetrisk om denne linja. Vi ser geometrisk at tangentane har inverse stigningstal.

$g^{\text{'}}\left(-1\right)=3 \text{og} f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3}$

Legg merke til at vi kan teikne grafen til den omvende funksjonen ved å spegle grafen til f om linja $y=x$.

Døme

Vi skal no vise at vi kan finne den deriverte til den omvende funksjonen i ein bestemd verdi, trass i at det er umogleg å finne den omvende funksjonen:

$f\left(x\right)=e^x+\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+9x-13 , D_f=\mathrm{ℝ}$

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+x^2-6x+9\\ \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+{\left(x-3\right)}^2\end{array}$

Uttrykket for den deriverte er alltid positivt, og det betyr at funksjonen er veksande i heile definisjonsområdet sitt og derfor har ein omvend funksjon g.

Det er umogleg å finne den omvende funksjonen g, men det er likevel mogleg å finne til dømes $g^{\text{'}}\left(-12\right)$. Det er fordi

$f\left(0\right)=e^0+\frac{1}{3}·0^3-3·0^2+9·0-13=-12$

og

$g^{\text{'}}\left(-12\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(0\right)}=\frac{1}{e^0+{\left(0-3\right)}^2}=\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$.

Vi var her avhengige av å finne den x-verdien som ga funksjonen f verdien $-12$.

For å finne den deriverte til den omvende funksjonen i ein bestemd verdi a, $g^{\text{'}}\left(a\right)$, må vi altså først finne den tilhøyrande x-verdien som gir a som funksjonsverdi til f. Vi set $f\left(x\right)=a$ .