Den deriverte til omvendte funksjoner

Sammenhengen mellom den deriverte til en funksjon og den deriverte til den omvendte funksjonen

La $g\left(x\right)$ være den omvendte funksjonen til $f\left(x\right)$. Da er $g\left(f\left(x\right)\right)=x$. Vi deriverer begge sider av likningen. På venstre side bruker vi kjerneregelen. På høyre side får vi 1.

$\begin{array}{rcl}g\left(f\left(x\right)\right) & =& x\\ & \Downarrow & \\ {\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)}^{\text{'}} & =& x^{\text{'}} \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 1 \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right) & =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\end{array}$

Den deriverte til funksjonen er med andre ord lik $\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$.

Når vi vet dette, kan vi finne den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt ut fra den deriverte til funksjonen, uten å gå veien om å finne den omvendte funksjonen og så derivere denne. Hvis vi allerede kjenner den omvendte funksjonen, kan vi selvfølgelig derivere denne på vanlig måte.

Vi tar utgangspunkt i funksjonen$$

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}-2, D_f=\mathrm{ℝ}$

og finner $f\left(1\right), f^{\text{'}}\left(x\right) \mathrm{og} f^{\text{'}}\left(1\right)$:

$\begin{array}{l}f\left(1\right)=\sqrt[3]{1}-2=1-2=-1\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}}=\frac{1}{3}\end{array}$

Vi har nå det vi trenger for å finne den deriverte til den omvendte funksjonen for $x=-1$, $g^{\text{'}}(-1)$ ut fra formelen:

$\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(1\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\end{array}$

Vi ser at vi har funnet den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt, uten å måtte finne den omvendte funksjonen.

Siden f og g er omvendte funksjoner, ligger grafene symmetrisk om linja $y=x$. Da må også tangentene til grafene i punktene A og B (se grafen) ligge symmetrisk om denne linja. Vi ser geometrisk at tangentene har inverse stigningstall.

$g^{\text{'}}\left(-1\right)=3 \text{og} f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3}$

Legg merke til at vi kan tegne grafen til den omvendte funksjonen ved å speile grafen til f om linja $y=x$.

Eksempel

Vi skal nå vise at vi kan finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi, til tross for at det er umulig å finne den omvendte funksjonen.

$f\left(x\right)=e^x+\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+9x-13 , D_f=\mathrm{ℝ}$

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+x^2-6x+9\\ \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+{\left(x-3\right)}^2\end{array}$

Uttrykket for den deriverte er alltid positivt, og det betyr at funksjonen er voksende i hele sitt definisjonsområde og derfor har en omvendt funksjon g.

Det er umulig å finne den omvendte funksjonen g, men det er likevel mulig å finne for eksempel $g^{\text{'}}\left(-12\right)$. Det er fordi

$f\left(0\right)=e^0+\frac{1}{3}·0^3-3·0^2+9·0-13=-12$

og

$g^{\text{'}}\left(-12\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(0\right)}=\frac{1}{e^0+{\left(0-3\right)}^2}=\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$.

Vi var her avhengige av å finne den x-verdien som ga funksjonen f verdien $-12$.

For å finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi a, $g^{\text{'}}\left(a\right)$, må vi altså først finne den tilhørende x-verdien som gir a som funksjonsverdi til f. Vi setter $f\left(x\right)=a$ .