Oppgave

Den deriverte til omvendte funksjoner

Her kan du arbeide med den deriverte til omvendte funksjoner.

3.3.40

I deloppgave a), b) og c) får du oppgitt noen lineære funksjoner. Finn den deriverte til den omvendte funksjonen $g (x)$ for hver av de oppgitte funksjonene, uten å finne den omvendte funksjonen.

a) $f (x) = 2 x + 5, D_{f} = ℝ .$

b) $f (x) = \frac{1}{4} x - 7, D_{f} = ℝ$

c) $f (x) = - 3 x + 1, D_{f} = ℝ$

Tips til oppgavene

Bruk at $g^{'} (f (x)) = \frac{1}{f^{'} (x)}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x + 5 \\ f^{'} (x) & = & 2 \\ g^{'} (f (x)) & = & \frac{1}{f^{'} (x)} \\ = & \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{4} x - 7 \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{4} \\ g^{'} (f (x)) & = & \frac{1}{f^{'} (x)} \\ = & \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - 3 x + 1 \\ g^{'} (f (x)) & = & \frac{1}{f^{'} (x)} \\ = & \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3} \end{array}$

d) Sammenlign $f^{'} (x)$ med $g^{'} (x)$ i hver av deloppgavene ovenfor. Ser du en sammenheng mellom den deriverte av den gitte funksjon og den deriverte av den omvendte funksjonen?

Løsning

Den deriverte av en lineær funksjon gir stigningstallet $a$ til den rette linja som funksjonen representerer. Den tilhørende omvendte funksjonen til hver av disse funksjonene er også lineære funksjoner, der stigningstallet er $\frac{1}{a}$ .

e) Kontroller det du kom fram til i d) ved å finne den deriverte til den omvendte funksjonen til en generell lineær funksjon, $f (x) = a x + b,$ der $a \neq 0 .$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a x + b \\ f^{'} (x) & = & a \\ g^{'} (f (x)) & = & \frac{1}{f^{'} (x)} = \frac{1}{a} \end{array}$

3.3.41

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + 2 x - 5, x \geq - 1$ . Vi kaller den omvendte funksjonen til $f$ for $g$ .

a) Finn $f (1)$ og $f^{'} (1)$ .

b) Finn $g^{'} (- 2)$ uten å finne den omvendte funksjonen.

c) Finn den omvendte funksjonen $g$ ved hjelp av CAS. Finn så stigningstallet til tangenten til $g$ i punktet $(- 2, g (- 2))$ og stigningstallet til $f$ i punktet $(1, f (1))$ .

d) Ser du en sammenheng mellom stigningstallene i disse to punktene?

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} + 2 x - 5 \\ f^{'} (x) & = & 2 x + 2 \\ f (1) & = & 1^{2} + 2 \cdot 1 - 5 = - 2 \\ f^{'} (1) & = & 2 \cdot 1 + 2 = 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} g^{'} (- 2) \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} g^{'} (f (1)) & = & \frac{1}{f^{'} (1)} = \frac{1}{4} \end{array}$

c) og d)

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er f av x definert som x i andre pluss 2 x minus 5. På linje 2 er f av x satt lik y. Svaret med Løs er x er lik minus rota av parentes y pluss 6 parentes slutt minus 1 eller x er lik rota av parentes y pluss 6 parentes slutt minus 1. På linje 3 er g av x definert som rota av parentes x pluss 6 parentes slutt minus 1. På linje 4 står det Tangent parentes 1 komma, f parentes slutt. Svaret er y er lik 4 x minus 6. På linje 5 står det Tangent parentes minus 2, komma g parentes slutt. Under står det y er lik en fjerdedels x pluss tre todeler. Skjermutklipp.

Løsningen i CAS er vist. For å sjekke hvilken av løsningene i linje 2 vi skal bruke, sjekker vi en x-verdi. Vi vet at $f (1) = - 2$ . Da må $g (- 2) = 1$ , og det er den andre løsningen som gir dette resultatet.

Vi ser at vi har det samme forholdet mellom stigningstallene til tangentene for $f$ og $g$ her som vi hadde for de lineære funksjonene i oppgave 3.3.40. Stigningstallet til tangenten til $f$ i punktet $(1, f (1))$ er 4, mens stigningstallet til den omvendte funksjonen $g$ i punktet $(2, g (2))$ er $\frac{1}{4}$ .

3.3.42

a) Lag et program i Python eller et annet programmeringsspråk som finner den deriverte til den omvendte funksjonen til en lineær funksjon. Funksjonen oppgis ved at stigningstall og konstantledd angis av bruker når programmet kjøres.

b) Utvid programmet slik at det også gir tilbake både den lineære funksjonen og den omvendte funksjonen. Test programmet med både positive og negative verdier for stigningstall og konstantledd.

Løsning

a) Program i Python som finner den deriverte til en omvendt funksjon:

Omvendte funksjoner

1print("Utgangspunkt: en lineær funksjon")
2a=float(input("Oppgi funksjonens stigningstall:"))
3b=float(input("Oppgi funksjonens konstantledd:"))
4print(f"f'(x)= {a:.2f}")
5print(f"g'(x)= {(1/a):.2f}")

b) Utvidelse av programmet fra a):

Omvendte funksjoner, utvidelse

1a=float(input("Oppgi funksjonens stigningstall:"))
2b=float(input("Oppgi funksjonens konstantledd:"))
3
4print(f"f(x)= {a}x+{b}")
5print(f"g(x)= {(1/a):.2f}x+{(b/a):.2f}")
6
7print(f"f'(x)= {a:.2f}")
8print(f"g'(x)= {(1/a):.2f}")

Vi viser bruk av if-test for at utskriften skal bli bedre når konstantleddet er negativt:

Omvendte funksjoner, bruk av if-test

1a=float(input("Oppgi funksjonens stigningstall:"))
2b=float(input("Oppgi funksjonens konstantledd:"))
3
4if (b>0):
5    print(f"f(x)= {a}x+{b}")
6else:
7    print(f"f(x)= {a}x{b}")
8
9if ((b/a)>0):
10    print(f"g(x)= {(1/a):.2f}x+{(b/a):.2f}")
11else:
12    print(f"g(x)= {(1/a):.2f}x{(b/a):.2f}")
13    
14print(f"f'(x)= {a:.2f}")
15print(f"g'(x)= {(1/a):.2f}")

3.3.43

Gitt funksjonen $f (x) = e^{x}, D_{f} = ℝ .$

a) Hvilken verdimengde har $f$ ?

b) Begrunn hvorfor $f$ har en omvendt funksjon $g .$

c) Finn den omvendte funksjonen til $f$ , både manuelt og ved hjelp av CAS.

d) Hva er definisjonsmengden og verdimengden til $g$ ?

e) Finn $f (1)$ og $f^{'} (1)$ .

f) Finn $g^{'} (f (1))$ uten å bruke den omvendte funksjonen. Sjekk så resultatet du fikk, ved å derivere den omvendte funksjonen du fant i b).

Løsning

a) $V_{f} = ⟨ 0, \infty ⟩$

b) Den deriverte av $e^{x}$ , $f^{'} (x) = e^{x}$ , er alltid positiv, siden eksponentialfunksjoner med grunntall større enn 1 har denne egenskapen. Det betyr at funksjonen er voksende i hele definisjonsområdet sitt og derfor har en omvendt funksjon $g$ .

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & y \\ y & = & e^{x} \\ \ln y & = & \ln e^{x} \\ x & = & \ln y \\ g (x) & = & \ln x \end{array}$

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 står det f av x kolon er lik e opphøyd i x. Under står det det samme. På linje 2 står det g av x kolon er lik invers av f. Under står det g av x kolon er lik l n av x. Skjermutklipp.

d) Definisjonsmengden til $g$ er lik verdimengden til $f$ . Verdimengden til $g$ er lik definisjonsmengden til $f$ .

$D_{g} = 〈 0, \infty 〉, V_{g} = ℝ$

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & e^{x} \\ f (1) & = & e^{1} = e \\ f^{'} (x) & = & e^{x} \\ f^{'} (1) & = & e^{1} = e \end{array}$

$\begin{array}{rcl} g^{'} (f (1)) & = & \frac{1}{f^{'} (1)} = \frac{1}{e} \\ g (x) & = & \ln (x) \\ g^{'} (x) & = & \frac{1}{x} \\ g^{'} (e) & = & \frac{1}{e} \end{array}$

3.3.44

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = \sqrt{x^{2} + x}, x \geq 0 .$ Den omvendte funksjonen kalles $g$ .

Bestem $g (\sqrt{6})$ og $g^{'} (\sqrt{6})$ uten å finne den omvendte funksjonen.

Denne oppgaven kan med fordel løses først manuelt og deretter kontrolleres ved løsning i CAS.

Løsning

a) Vi skal finne $g (\sqrt{6})$ og $g^{'} (\sqrt{6})$ uten å finne den omvendte funksjonen. For å finne $g (\sqrt{6})$ løser vi likningen $f (x) = \sqrt{6}$ :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2} + x} & = & \sqrt{6} \\ x^{2} + x & = & 6 \\ x^{2} + x - 6 & = & 0 \end{array}$

$x = 2 \lor x = - 3$

Siden $f (x)$ bare er definert for positive verdier av $x$ , er $x = 2$ den eneste muligheten.

Vi vet nå følgende:

$\begin{array}{rcl} f (2) & = & \sqrt{2^{2} + 2} = \sqrt{6} \\ g (\sqrt{6}) & = & 2 \end{array}$

For å finne $g^{'} (\sqrt{6})$ bruker vi sammenhengen $g^{'} (f (x)) = \frac{1}{f^{'} (x)}$ , og vi må derfor finne $f^{'} (x)$ først:

$\begin{array}{lcl} f (x) & = & \sqrt{x^{2} + x} \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + x}} \cdot (2 x + 1) = \frac{2 x + 1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + x}} \end{array}$

Dette gir:

$\begin{array}{rcl} f^{'} (2) & = & \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 \cdot \sqrt{2^{2} + 2}} = \frac{5}{2 \cdot \sqrt{6}} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} g^{'} (f (x)) & = & \frac{1}{f^{'} (x)} \\ g^{'} (f (2)) & = & \frac{1}{f^{'} (2)} \\ g^{'} (\sqrt{6}) & = & \frac{1}{\frac{5}{2 \sqrt{6}}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5} \end{array}$

3.3.45

Funksjonen $f (x) = e^{x^{3}}$ , $D_{f} = ℝ$ har en omvendt funksjon g.

Undersøk tangenten til f i punktet $(0, f (0))$ og tangenten til $g$ i punktet $(1, g (1))$ . Er det noen sammenheng? Hva innebærer verdiene du finner for stigningstallene?

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & e^{x^{3}} \\ f^{'} (x) & = & e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2} \\ f^{'} (0) & = & e^{0} \cdot 3 \cdot 0^{2} = 0 \end{array}$

Tangenten til $f$ har stigningstall lik 0. Dette betyr at tangenten ikke har stigning, den er horisontal. Det angitte punktet er derfor et stasjonært punkt, og siden $f$ er voksende i hele sitt definisjonsområde, vil punktet være et terrassepunkt.

$\begin{array}{rcl} g^{'} (f (x)) & = & \frac{1}{f^{'} (x)} \\ f (x) & = & 1 \\ e^{x^{3}} & = & 1 \\ \ln e^{x^{3}} & = & \ln 1 \\ x & = & 0 \\ g^{'} (1) & = & \frac{1}{f^{'} (0)} \\ g^{'} (1) & = & \frac{1}{0} \end{array}$

Vi ser at $x = 0$ gjør at $g^{'} (x)$ er ikke er definert. For å forklare hva dette betyr, bruker vi definisjonen av den deriverte:

$g^{'} (x) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{g (x + ∆ x) - g (x)}{∆ x}$

Grenseverdien går mot uendelig for $x = 1$ , noe som betyr at grafen til funksjonen $g$ har en vertikal (loddrett) tangent i $x = 1$ . Dette betyr også at $g$ ikke er deriverbar i dette punktet.