Funksjoner med delt forskrift

De to funksjonsuttrykkene er polynomfunksjoner og hver for seg kontinuerlige for alle x. Vi trenger derfor kun å undersøke om funksjonen er kontinuerlig for $x=0$ der funksjonsuttrykkene skifter. Da sjekker vi om

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·0+2=2\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=0^2+2=2\end{array}$

$f\left(0\right)=0^2+2=2$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for $x=0$. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

De to funksjonsuttrykkene er polynomfunksjoner og hver for seg kontinuerlige for alle x. Vi trenger derfor kun å undersøke om funksjonen er kontinuerlig for $x=2$ der funksjonsuttrykkene skifter.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·2+2=6\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=2^2+2=6\end{array}$

$f\left(2\right)=2^2+2=6$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for alle verdier av x.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

De to funksjonsuttrykkene er polynomfunksjoner og hver for seg kontinuerlige for alle x. Vi trenger derfor kun å undersøke om funksjonen er kontinuerlig for $x=1$ der funksjonsuttrykkene skifter.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·1+2=4\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=1^2+2=3\end{array}$

$f\left(1\right)=1^2+2=3$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er ikke like. Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for $x=1$.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

Vi undersøker om funksjonen er kontinuerlig for $x=1$ der funksjonsuttrykkene skifter.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-x^2+9\right)=-1^2+9=8\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x+9\right)=-1+9=8\\ & & \end{array}$
$f\left(1\right)=-1+9=8$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen er dermed kontinuerlig for $x=1$. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x.

Selv om funksjonsforskriften er delt i tre deler, gjelder det samme kravet til kontinuitet som før.

Vi undersøker om funksjonen er kontinuerlig for $x=1$.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2=1^2=1\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2·1-1=1\\ & & \end{array}$
$f\left(1\right)=2$

De to grenseverdiene er like, men $f\left(1\right)$ har en annen verdi (2). Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for $x=1$. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig.

For å tegne grafen til funksjonen i GeoGebra skriver vi

Dersom(x<1,2x-1,1<=x<=1,2,x>1,x^2)

GeoGebra tegner dessverre ikke punktet $\left(1,f\left(1\right)\right)=\left(1,2\right)$, så det må vi gjøre manuelt. Legg også merke til at vi må bruke dobbel ulikhet i stedet for å skrive x=1 i kommandoen.

Vi regner først ut $f\left(4\right)$. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for $x\ge 4$.

$\begin{array}{rcl}f\left(4\right) & =& 2,5·4-a=10-a\\ & =& \underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når $x\to 4^{-}$.

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=4-3=1$

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(4\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}10-a & =& 1\\ -a & =& 1-10\\ a & =& 9\end{array}$

Vi regner først ut $f\left(2\right)$. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for $x\ge 2$.

$\begin{array}{rcl}f\left(2\right) & =& a·2=2a\\ & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når $x\to 2^{-}$.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2^2-1=3$

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}2a & =& 3\\ a & =& \frac{3}{2}\end{array}$

Vi regner først ut $f\left(0\right)$. Da må vi bruke det øverste funksjonsuttrykket, som gjelder for $x\le 0$.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right) & =& -2·0^2+3=3\\ & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når $x\to 0^{+}$.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-0,5·0+a=a$

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}a & =& 3\end{array}$

Dersom vi setter det andre vilkåret til $x<1$ i stedet for $x\le 1$, vil ikke funksjonen lenger være definert for $x=1$, og funksjonen vil være kontinuerlig fordi den er kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

Vi har at grafen til det første funksjonsuttrykket, som er den rette linja, går mot verdien 4 når $x\to 1$. Dette er 1 mer enn hva grafen til det andre funksjonsuttrykket går mot når $x\to 1$. Dersom vi endrer det andre funksjonsuttrykket (ved å legge til 1) til $x^2+3$, vil de to grafdelene henge sammen, og funksjonen blir kontinuerlig. Det betyr at

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+2,& x>1\\ x^2+3,& x\le 1\end{array}\right.$

er en kontinuerlig funksjon.

Vi må undersøke om funksjonen er kontinuerlig for $x=1$.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·1+2=4\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+3\right)=1^2+3=4\\ & & \end{array}$

I tillegg har vi at $f\left(1\right)=1^2+3=4$.

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Det betyr at funksjonen er kontinuerlig.

Vi må kreve at $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$.

Den første likheten gir

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to a^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right) & =& \underset{x\to a^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)\\ a^2+2 & =& 2a+2\\ a^2-2a & =& 0\\ a\left(a-2\right) & =& 0\\ a & =& 0 \vee a-2=0\\ a & =& 0 \vee a=2\end{array}$

Vi regner så ut at $f\left(a\right)=a^2+2$. Dette er det samme som den ene grenseverdien og gir derfor ikke noen nye løsninger (eller begrensninger).

Stemmer dette med hva vi fant i oppgave 2.2.10 a), b) og c)?

For at funksjonen skal være kontinuerlig, må funksjonsforskriften skifte der grafene skjærer hverandre. Vi tegner grafene til de to funksjonsuttrykkene og finner skjæringspunktene mellom de to grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Grafene skjærer hverandre for $x=0$ og for $x=2$. Det betyr at funksjonen f er kontinuerlig for $a=0$ og for $a=2$.

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=6$

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=4$

Vi ser av grafen at $g(-2)=6$.

Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x unntatt når $x=-2$.

Vi skriver f(x)=abs(x-2) i algebrafeltet i GeoGebra.

Finn ut når uttrykket inni absoluttverditegnet er større enn eller lik 0. Skriv deretter funksjonen ved å lage delt funksjonsforskrift.

Vi kan skrive funksjonen f uten absoluttverditegn ved å lage delt funksjonsforskrift. Da må vi finne den x-verdien der vi skal bytte funksjonsuttrykk. Alternativt kan vi si at vi må finne ut for hvilke x-verdier vi trenger absoluttverditegnet, og for hvilke vi ikke trenger det. Det gjør vi ved å løse ulikheten

$\begin{array}{rcl}x-2 & \ge & 0\\ x & \ge & 2\end{array}$

Vi kan tegne ei fortegnslinje som viser dette.

Vi har bare bruk for absoluttverditegnet når uttrykket er mindre enn null, som vil si når $x<2$. I dette intervallet kan vi oppnå samme effekt ved å sette et minustegn foran hele uttrykket, det vil si at vi finner det motsatte uttrykket. Da får vi

$-\left(x-2\right)=-x+2$

I den delte funksjonsforskriften må vi derfor ha det opprinnelige funksjonsuttrykket som står inni absoluttverditegnet når $x\ge 2$, og det andre når $x<2$. Vi kan derfor skrive funksjonen f som

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-2,& x\ge 2\\ 2-x,& x<2\end{array}\right.$

Vi må lage en delt funksjonsforskrift. Vi undersøker når uttrykket inni absoluttverditegnet er større enn eller lik 0.

$\begin{array}{rcl}x+5 & \ge & 0\\ x & \ge & -5\end{array}$

Det motsatte uttrykket blir

$-\left(x+5\right)=-x-5$

Funksjonen kan derfor skrives som

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+5,& x\ge -5\\ -x-5,& x<-5\end{array}\right.$

Vi må lage en delt funksjonsforskrift. Vi undersøker når uttrykket inni absoluttverditegnet er større enn eller lik 0.

$\begin{array}{rcl}3-2x & \ge & 0\\ -2x & \ge & -3\\ x & \le & \frac{3}{2}\end{array}$

Det motsatte uttrykket blir

$-\left(3-2x\right)=2x-3$

Funksjonen kan derfor skrives som

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3-2x,& x\le \frac{3}{2}\\ 2x-3,& x>\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vi må lage en delt funksjonsforskrift. Vi undersøker når uttrykket inni absoluttverditegnet er større enn eller lik 0.

$\begin{array}{rcl}3x-1 & \ge & 0\\ 3x & \ge & 1\\ x & \ge & \frac{1}{3}\end{array}$

Det motsatte uttrykket blir

$-\left(3x-1\right)=-3x+1$

Når $x\ge \frac{1}{3}$, blir funksjonsuttrykket $3x-1-2=3x-3$.

Når $x<\frac{1}{3}$, blir funksjonsuttrykket $-3x+1-2=-3x-1$.

Funksjonen kan derfor skrives som

$h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3x-3,& x\ge \frac{1}{3}\\ -3x-1,& x<\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Prøv å skrive om funksjonen ved hjelp av absoluttverdifunksjonen.

Vi prøver å skrive om funksjonen ved hjelp av absoluttverdifunksjonen. Vi sjekker da først at de to funksjonsuttrykkene er motsatte av hverandre.

$-\left(3-4x\right)=4x-3$

Vi finner x-verdien der funksjonsuttrykkene skal skifte, for at vi skal kunne skrive funksjonen med absoluttverditegn. Da må vi finne nullpunktet til det øverste funksjonsuttrykket.

$\begin{array}{rcl}3-4x & \ge & 0\\ -4x & \ge & -3\\ x & \le & \frac{3}{4}\end{array}$

Funksjonen kan skrives som

$f\left(x\right)=\left|4x-3\right|$

Her er ikke funksjonsuttrykkene motsatt av hverandre. Det betyr at vi får et tillegg til absoluttverdifunksjonen når vi skal skrive dette som ett uttrykk. Funksjonen blir av typen

$g\left(x\right)=\left|2x+a\right|+b$

Da kan funksjonen skrives som

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+a+b,& x\ge -1\\ -2x-a+b,& x<-1\end{array}\right.$

Vi må finne konstantene a og b som oppfyller dette kravet. Ved å sammenlikne uttrykkene får vi fra det øverste uttrykket at $a+b=4$. Det andre gir at $-a+b=0$.

Den andre likningen gir at $a=b$. Den første gir videre at

$\begin{array}{rcl}a+a & =& 4\\ 2a & =& 4\\ a & =& b=2\end{array}$

Funksjonen g kan da skrives som

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+2+2,& x\ge -1\\ -2x-2+2,& x<-1\end{array}\right.$

Håpet er nå at vi skal kunne skrive funksjonen g som $g\left(x\right)=\left|2x+2\right|+2$. Vi må igjen sjekke når uttrykket inni absoluttverditegnet er større enn null.

$\begin{array}{rcl}2x+2 & \ge & 0\\ 2x & \ge & -2\\ x & \ge & -1\end{array}$

Vi får at $g\left(x\right)=\left|2x+2\right|+2$.

De to funksjonsuttrykkene er ikke motsatte av hverandre. Da prøver vi samme taktikken som i forrige oppgave. Da får vi

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}6x+a+b,& x\ge s\\ -6x-a+b,& x<s\end{array}\right.$

Dette gir et likningssett som vi her løser ved å legge sammen likningene.

$\begin{array}{rcl}a+b & =& 2\\ -a+b & =& -3\\ & & \\ b+b & =& 2-3\\ 2b & =& -1\\ b & =& -\frac{1}{2}\\ & & \\ a-\frac{1}{2} & =& 2\\ a & =& \frac{4}{2}+\frac{1}{2}\\ a & =& \frac{5}{2}\end{array}$

De to funksjonsuttrykkene kan derfor skrives som ett funksjonsuttrykk ved hjelp av uttrykket $\left|6x+\frac{5}{2}\right|-\frac{1}{2}$.

For å bestemme konstanten s må vi sjekke når uttrykket inni absoluttverditegnet er større enn eller lik 0. Vi får

$\begin{array}{rcl}6x+\frac{5}{2} & \ge & 0\\ 6x & \ge & -\frac{5}{2}\\ x & \ge & -\frac{5}{12}\end{array}$

Det betyr at $s=-\frac{5}{12}$. Funksjonen kan da skrives som

$f\left(x\right)=\left|6x+\frac{5}{2}\right|-\frac{1}{2}$