Funksjoner med delt forskrift

Før vi begynner med funksjoner med delt forskrift, presiserer vi hva vi mener med ensidige grenseverdier.

En funksjon kan ha to ulike grenseverdier når x nærmer seg en verdi a, avhengig av om x nærmer seg a fra høyre eller fra venstre.

Eksempel

Nedenfor har vi grafen til en ukjent funksjon f.

🤔 Tenk over: Hva er $f\left(4\right)$?

Grafen gjør et hopp ved $x=4$. Ut fra grafen leser vi at når x nærmer seg 4 fra venstre, nærmer funksjonsverdien seg 1. Matematisk skriver vi dette som

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$

Dette kalles en ensidig grenseverdi fordi vi bare ser på hva som skjer når x nærmer seg en verdi fra den ene siden, her fra venstre side. Legg merke til at vi skriver et minustegn som høy indeks på firetallet.

Når x nærmer seg 4 fra høyre, leser vi ut fra grafen at funksjonsverdien nærmer seg 2. Matematisk skriver vi dette som

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2$

med et plusstegn som høy indeks på firetallet.

🤔 Tenk over: Hva er $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)$?

Hvordan ser funksjonsuttrykket ut til en graf som hopper slik den gjør i eksempelet over? Jo, vi kan bestemme at funksjonen skal være slik at ett funksjonsuttrykk gjelder for x-verdier opp til en bestemt verdi, mens et annet uttrykk gjelder videre. Da sier vi at funksjonen har delt forskrift.

Eksempel 1

Billettprisen for voksne på en fotballkamp er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vi lar funksjonen $p\left(x\right)$ være prisen som en tilskuer med alder x år må betale for å se fotballkampen. Da kan vi skrive funksjonen med delt forskrift.

$p\left(x\right)=\{\begin{array}{l}60, 0<x<18\\ 100, 18\le x \end{array}$

Her betyr det at$p\left(x\right)=60$når $0<x<18$, og $p\left(x\right)=100$ når $18\le x$.

• Grenseverdien når x går mot 18 fra venstre er lik 60.

• Grenseverdien når x går mot 18 fra høyre er lik 100.

• Funksjonsverdien når $x=18$, er 100.

Det betyr at funksjonen p er diskontinuerlig.

Delt funksjonsforskrift med GeoGebra

Vi kan få GeoGebra til å tegne funksjonen i eksempel 1 ved å bruke kommandoen "Dersom" og skrive inn vilkårene og tilhørende funksjonsuttrykk etter hverandre med komma mellom:

p(x)=Dersom(0<x<18,60,18<=x,100)

Eksempel 2

Funksjoner trenger ikke være diskontinuerlige selv om de er gitt med delt forskrift.

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^2-3 , x<4\\ x-3 , x⩾4\end{array}$

🤔 Tenk over: Hva betyr den delte funksjonsforskriften over?

🤔 Tenk over: Studer hvordan vi bruker kommandoen "Dersom" over for å skrive inn funksjonen p som har delt funksjonsforskrift. Hva må vi skrive i GeoGebra for å få tegnet funksjonen f?

🤔 Tenk over: Hvorfor kan vi ikke bruke varianten "Dersom(<Vilkår>,<Så>,<Ellers>)" i eksempel 1?

På bildet har vi markert med symboler som viser at punktet $x=4$ hører til den høyre delen av grafen, som hører til det andre funksjonsuttrykket ($x-3$).

Er funksjonen f en kontinuerlig funksjon? De to uttrykkene i funksjonsforskriften til f er begge polynomer og kontinuerlige funksjoner for alle $x\in \mathrm{ℝ}$. Det eneste vi må undersøke spesielt, er om funksjonen f er kontinuerlig der den skifter uttrykk, det vil si for $x=4$. Det ser ut som om grafen henger sammen her, men vi sjekker om $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=f\left(4\right)$, som er kravet til kontinuitet i dette punktet.

Vi starter med å sjekke grenseverdien når x går mot 4 fra venstre.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{4}{x}^2-3\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{4}·16-3=1\end{array}$

Grenseverdien når x går mot 4 fra høyre, er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 4^{+}}{\lim }\left(x-3\right)\\ & =& 4-3=1\end{array}$

Funksjonsverdien i punktet der $x=4$, er

$f\left(4\right)=4-3=1$

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for $x=4$ og kontinuerlig i hele definisjonsområdet, som er alle reelle tall. Vi sier at funksjonen er kontinuerlig for alle $x\in \mathrm{ℝ}$.

Eksempel 3

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}{x}^2-1 , x<2\\ 2x-8 , x\ge 2\end{array}$

Vi skal undersøke om funksjonen er kontinuerlig for $x=2$.

Vi sjekker grenseverdien til funksjonen for x-verdiene der funksjonen skifter uttrykk.

Grenseverdien når x går mot 2 fra venstre, er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(-\frac{1}{4}{x}^2-1\right)\\ & & \\ & =& -\frac{1}{4}·2^2-1=-2\end{array}$

Grenseverdien når x går mot 2 fra høyre, er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x-8\right)\\ & =& 2·2-8\\ & =& -4\end{array}$

Funksjonsverdien i punktet der $x=2$, blir

$f\left(2\right)=2·2-8=-4$

De to grenseverdiene er ikke like. Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for $x=2$. For alle andre verdier er funksjonen kontinuerlig. Vi kan dermed si at funksjonen ikke er kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt. Vi kan også se dette av grafen til f, som ikke er sammenhengende i hele definisjonsområdet sitt.

🤔 Tenk over: Hva skjer med funksjonen når det gjelder kontinuitet dersom vi endrer det andre vilkåret fra $x\ge 2$ til $x>2$?

Med absoluttverdien eller tallverdien til et tall mener vi den positive avstanden fra origo langs x-aksen til tallet. For eksempel er absoluttverdien av 3 lik 3 og absoluttverdien av $-3$ lik 3. Dette kan vi skrive ved hjelp av absoluttverditegnet $| |$. Vi kan skrive

$\left|-3\right|=\left|3\right|=3$

Vi ser nå på funksjonen

$f\left(x\right)=\left|x\right|$

Dette leser vi som "f av x er lik absoluttverdien av x."

🤔 Tenk over: Hva gjør denne funksjonen, sagt med ord?

En verditabell for denne funksjonen kan se slik ut:

Nedenfor har vi tegnet grafen til f.

🤔 Tenk over: Hva er verdimengden til f?

Absoluttverdifunksjonen i GeoGebra

Du kan tegne funksjonen f over ved å skrive f(x)=abs(x) i algebrafeltet i GeoGebra. GeoGebra-kommandoen "abs" gir oss absoluttverdien av det som puttes inn.

Absoluttverdifunksjonen og delt funksjonsforskrift

🤔 Studer grafen til funksjonen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ over. Hvordan kan denne funksjonen skrives ved hjelp av en delt funksjonsforskrift?

Eksempel

Funksjonen g er gitt som

$g\left(x\right)=\left|x+2\right|$

Vi ønsker å skrive funksjonen uten absoluttverditegn ved å bruke delt funksjonsforskrift.

Det ene funksjonsuttrykket i den delte funksjonsforskriften vil være lik uttrykket inni absoluttverditegnet, $x+2$. Det vil gjelde for alle x-verdier der uttrykket er større enn eller lik 0. Dette gir oss en ulikhet som vi kan løse.

$\begin{array}{rcl}x+2 & \ge & 0\\ x & \ge & -2\end{array}$

For x-verdier som er større enn eller lik $-2$, vil uttrykket være større enn eller lik 0, og da trenger vi ikke absoluttverditegnet. For x-verdier som er mindre enn $-2$, vil uttrykket gi negativt svar. Funksjonsuttrykket som skal gjelde da, må være lik "minus" det andre funksjonsuttrykket, for da blir resultatet positivt. Det andre funksjonsuttrykket blir derfor

$-\left(x+2\right)=-x-2$

Funksjonen g skrevet uten absoluttverditegn blir derfor

$g\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-x-2 , x<-2\\ x+2 , x\ge -2\end{array}$