Funksjonar med delt forskrift

Dei to funksjonsuttrykka er polynomfunksjonar og kvar for seg kontinuerlege for alle x. Vi treng derfor berre å undersøke om funksjonen er kontinuerleg for $x=0$ der funksjonsuttrykka skiftar. Då sjekkar vi om

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·0+2=2\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=0^2+2=2\end{array}$

$f\left(0\right)=0^2+2=2$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for $x=0$. Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x.

Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":

Dei to funksjonsuttrykka er polynomfunksjonar og kvar for seg kontinuerlege for alle x. Vi treng derfor berre å undersøke om funksjonen er kontinuerleg for $x=2$ der funksjonsuttrykka skiftar.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·2+2=6\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=2^2+2=6\end{array}$

$f\left(2\right)=2^2+2=6$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for alle verdiar av x.

Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":

Dei to funksjonsuttrykka er polynomfunksjonar og kvar for seg kontinuerlege for alle x. Vi treng derfor berre å undersøke om funksjonen er kontinuerleg for $x=1$ der funksjonsuttrykka skiftar.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·1+2=4\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=1^2+2=3\end{array}$

$f\left(1\right)=1^2+2=3$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er ikkje like. Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for $x=1$.

Vi bruker GeoGebra til å teikne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Elles>)":

Vi undersøker om funksjonen er kontinuerleg for $x=1$ der funksjonsuttrykka skiftar.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(-x^2+9\right)=-1^2+9=8\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x+9\right)=-1+9=8\\ & & \end{array}$
$f\left(1\right)=-1+9=8$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like. Funksjonen er dermed kontinuerleg for $x=1$. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg. Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x.

Sjølv om funksjonsforskrifta er delt i tre delar, gjelder det same kravet til kontinuitet som før.

Vi undersøker om funksjonen er kontinuerleg for $x=1$.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2=1^2=1\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2·1-1=1\\ & & \end{array}$
$f\left(1\right)=2$

Dei to grenseverdiane er like, men $f\left(1\right)$ har ein annan verdi (2). Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for $x=1$. For alle andre verdiar av x er funksjonen eit polynom og er dermed kontinuerleg.

For å teikne grafen til funksjonen i GeoGebra skriv vi

Dersom(x<1,2x-1,1<=x<=1,2,x>1,x^2)

GeoGebra teiknar dessverre ikkje punktet $\left(1,f\left(1\right)\right)=\left(1,2\right)$, så det må vi gjere manuelt. Legg òg merke til at vi må bruke dobbel ulikskap i staden for å skrive x=1 i kommandoen.

Vi reknar først ut $f\left(4\right)$. Då må vi bruke det nedste funksjonsuttrykket, som gjeld for $x\ge 4$.

$\begin{array}{rcl}f\left(4\right) & =& 2,5·4-a=10-a\\ & =& \underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$

Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når $x\to 4^{-}$.

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=4-3=1$

Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(4\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}10-a & =& 1\\ -a & =& 1-10\\ a & =& 9\end{array}$

Vi reknar først ut $f\left(2\right)$. Då må vi bruke det nedste funksjonsuttrykket, som gjeld for $x\ge 2$.

$\begin{array}{rcl}f\left(2\right) & =& a·2=2a\\ & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$

Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når $x\to 2^{-}$.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2^2-1=3$

Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}2a & =& 3\\ a & =& \frac{3}{2}\end{array}$

Vi reknar først ut $f\left(0\right)$. Då må vi bruke det øvste funksjonsuttrykket, som gjeld for $x\le 0$.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right) & =& -2·0^2+3=3\\ & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}$

Så må vi sjekke kva funksjonen går mot når $x\to 0^{+}$.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-0,5·0+a=a$

Dersom funksjonen skal vere kontinuerleg, må vi krevje at

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}a & =& 3\end{array}$

Dersom vi set det andre vilkåret til $x<1$ i staden for $x\le 1$, vil ikkje funksjonen lenger vere definert for $x=1$, og funksjonen vil vere kontinuerleg fordi han er kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

Vi har at grafen til det første funksjonsuttrykket, som er den rette linja, går mot verdien 4 når $x\to 1$. Dette er 1 meir enn kva grafen til det andre funksjonsuttrykket går mot når $x\to 1$. Dersom vi endrar det andre funksjonsuttrykket (ved å legge til 1) til $x^2+3$, vil dei to grafdelane henge saman, og funksjonen blir kontinuerleg. Det betyr at

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+2,& x>1\\ x^2+3,& x\le 1\end{array}\right.$

er ein kontinuerleg funksjon.

Vi må undersøke om funksjonen er kontinuerleg for $x=1$.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)=2·1+2=4\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+3\right)=1^2+3=4\\ & & \end{array}$

I tillegg har vi at $f\left(1\right)=1^2+3=4$.

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like. Det betyr at funksjonen er kontinuerleg.

Vi må krevje at $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$.

Den første likskapen gir

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to a^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right) & =& \underset{x\to a^{+}}{\lim }\left(2x+2\right)\\ a^2+2 & =& 2a+2\\ a^2-2a & =& 0\\ a\left(a-2\right) & =& 0\\ a & =& 0 \vee a-2=0\\ a & =& 0 \vee a=2\end{array}$

Vi reknar så ut at $f\left(a\right)=a^2+2$. Dette er det same som den eine grenseverdien og gir derfor ikkje nokon nye løysingar (eller avgrensingar).

Stemmer dette med kva vi fann i oppgåve 2.2.10 a), b) og c)?

For at funksjonen skal vere kontinuerleg, må funksjonsforskrifta skifte der grafane skjer kvarandre. Vi teiknar grafane til dei to funksjonsuttrykka og finn skjeringspunkta mellom dei to grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Grafane skjer kvarandre for $x=0$ og for $x=2$. Det betyr at funksjonen f er kontinuerleg for $a=0$ og for $a=2$.

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=6$

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=4$

Vi ser av grafen at $g(-2)=6$.

Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x unnateke når $x=-2$.

Vi skriv f(x)=abs(x-2) i algebrafeltet i GeoGebra.

Finn ut når uttrykket inni absoluttverditeiknet er større enn eller lik 0. Skriv deretter funksjonen ved å lage delt funksjonsforskrift.

Vi kan skrive funksjonen f utan absoluttverditeikn ved å lage delt funksjonsforskrift. Då må vi finne den x-verdien der vi skal byte funksjonsuttrykk. Alternativt kan vi seie at vi må finne ut for kva x-verdiar vi treng absoluttverditeiknet, og for kva x-verdiar vi ikkje treng det. Det gjer vi ved å løyse ulikskapen

$\begin{array}{rcl}x-2 & \ge & 0\\ x & \ge & 2\end{array}$

Vi kan teikne ei forteiknslinje som viser dette.

Vi har berre bruk for absoluttverditeiknet når uttrykket er mindre enn null, som vil seie når $x<2$. I dette intervallet kan vi oppnå den same effekten ved å setje eit minusteikn framfor heile uttrykket, det vil seie at vi finn det motsette uttrykket. Då får vi

$-\left(x-2\right)=-x+2$

I den delte funksjonsforskrifta må vi derfor ha det opphavlege funksjonsuttrykket som står inni absoluttverditeiknet når $x\ge 2$, og det andre når $x<2$. Vi kan derfor skrive funksjonen f som

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-2,& x\ge 2\\ 2-x,& x<2\end{array}\right.$

Vi må lage ei delt funksjonsforskrift. Vi undersøker når uttrykket inni absoluttverditeiknet er større enn eller lik 0.

$\begin{array}{rcl}x+5 & \ge & 0\\ x & \ge & -5\end{array}$

Det motsette uttrykket blir

$-\left(x+5\right)=-x-5$

Funksjonen kan derfor skrivast som

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+5,& x\ge -5\\ -x-5,& x<-5\end{array}\right.$

Vi må lage ei delt funksjonsforskrift. Vi undersøker når uttrykket inni absoluttverditeiknet er større enn eller lik 0.

$\begin{array}{rcl}3-2x & \ge & 0\\ -2x & \ge & -3\\ x & \le & \frac{3}{2}\end{array}$

Det motsette uttrykket blir

$-\left(3-2x\right)=2x-3$

Funksjonen kan derfor skrivast som

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3-2x,& x\le \frac{3}{2}\\ 2x-3,& x>\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vi må lage ei delt funksjonsforskrift. Vi undersøker når uttrykket inni absoluttverditeiknet er større enn eller lik 0.

$\begin{array}{rcl}3x-1 & \ge & 0\\ 3x & \ge & 1\\ x & \ge & \frac{1}{3}\end{array}$

Det motsette uttrykket blir

$-\left(3x-1\right)=-3x+1$

Når $x\ge \frac{1}{3}$, blir funksjonsuttrykket $3x-1-2=3x-3$.

Når $x<\frac{1}{3}$, blir funksjonsuttrykket $-3x+1-2=-3x-1$.

Funksjonen kan derfor skrivast som

$h\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3x-3,& x\ge \frac{1}{3}\\ -3x-1,& x<\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Prøv å skrive om funksjonen ved hjelp av absoluttverdifunksjonen.

Vi prøver å skrive om funksjonen ved hjelp av absoluttverdifunksjonen. Vi sjekkar då først at dei to funksjonsuttrykka er motsette av kvarandre.

$-\left(3-4x\right)=4x-3$

Vi finn x-verdien der funksjonsuttrykka skal skifte, for at vi skal kunne skrive funksjonen med absoluttverditeikn. Då må vi finne nullpunktet til det øvste funksjonsuttrykket.

$\begin{array}{rcl}3-4x & \ge & 0\\ -4x & \ge & -3\\ x & \le & \frac{3}{4}\end{array}$

Funksjonen kan skrivast som

$f\left(x\right)=\left|4x-3\right|$

Her er ikkje funksjonsuttrykka motsett av kvarandre. Det betyr at vi får eit tillegg til absoluttverdifunksjonen når vi skal skrive dette som eitt uttrykk. Funksjonen blir av typen

$g\left(x\right)=\left|2x+a\right|+b$

Då kan funksjonen skrivast som

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+a+b,& x\ge -1\\ -2x-a+b,& x<-1\end{array}\right.$

Vi må finne konstantane a og b som oppfyller dette kravet. Ved å samanlikne uttrykka får vi frå det øvste uttrykket at $a+b=4$. Det andre gir at $-a+b=0$.

Den andre likninga gir at $a=b$. Den første gir vidare at

$\begin{array}{rcl}a+a & =& 4\\ 2a & =& 4\\ a & =& b=2\end{array}$

Funksjonen g kan då skrivast som

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+2+2,& x\ge -1\\ -2x-2+2,& x<-1\end{array}\right.$

Håpet er no at vi skal kunne skrive funksjonen g som $g\left(x\right)=\left|2x+2\right|+2$. Vi må igjen sjekke når uttrykket inni absoluttverditeiknet er større enn null.

$\begin{array}{rcl}2x+2 & \ge & 0\\ 2x & \ge & -2\\ x & \ge & -1\end{array}$

Vi får at $g\left(x\right)=\left|2x+2\right|+2$.

Dei to funksjonsuttrykka er ikkje motsette av kvarandre. Då prøver vi den same taktikken som i den førre oppgåva. Då får vi

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}6x+a+b,& x\ge s\\ -6x-a+b,& x<s\end{array}\right.$

Dette gir eit likningssett som vi her løyser ved å legge saman likningane.

$\begin{array}{rcl}a+b & =& 2\\ -a+b & =& -3\\ & & \\ b+b & =& 2-3\\ 2b & =& -1\\ b & =& -\frac{1}{2}\\ & & \\ a-\frac{1}{2} & =& 2\\ a & =& \frac{4}{2}+\frac{1}{2}\\ a & =& \frac{5}{2}\end{array}$

Dei to funksjonsuttrykka kan derfor skrivast som eitt funksjonsuttrykk ved hjelp av uttrykket $\left|6x+\frac{5}{2}\right|-\frac{1}{2}$.

For å bestemme konstanten s må vi sjekke når uttrykket inni absoluttverditeiknet er større enn eller lik 0. Vi får

$\begin{array}{rcl}6x+\frac{5}{2} & \ge & 0\\ 6x & \ge & -\frac{5}{2}\\ x & \ge & -\frac{5}{12}\end{array}$

Det betyr at $s=-\frac{5}{12}$. Funksjonen kan då skrivast som

$f\left(x\right)=\left|6x+\frac{5}{2}\right|-\frac{1}{2}$