Oppgåve

Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar

Er funksjonane kontinuerlege eller ikkje?

2.2.1

Avgjer om funksjonane er kontinuerlege.

a) $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$

Løysing

Dette er ein polynomfunksjon. Funksjonen er kontinuerleg for $x \in ℝ$ .

b) $f (x) = \frac{x}{x - 4}$

Løysing

Dette er ein rasjonal funksjon, og er dermed kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

c) $h (x) = e^{x^{2} + 2}$

Løysing

Denne funksjonen er sett saman av ein eksponentialfunksjon og ein polynomfunksjon. Begge funksjonstypane er kontinuerlege, dermed er òg funksjonen sjølv kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

2.2.2

På ein matematikkprøve vart karakterane bestemde av oppnådde poeng. Samanhengen mellom poeng og karakter på matematikkprøven var som følger:

karakterskala
Poengsum	Karakter
$[0, 25 〉$	1
$[25, 45 ⟩$	2
$[45, 60 ⟩$	3
$[60, 80 ⟩$	4
$[80, 95 ⟩$	5
$[95, 100]$	6

Her kan vi oppfatte karakteren som ein funksjon av poengsummen. Avgjer om funksjonen er kontinuerleg i heile området frå 0 poeng til 100 poeng.

Løysing

Funksjonen er berre kontinuerleg innanfor dei enkelte poengintervalla, sjå figuren nedanfor.

Lar vi til dømes poengsummen nærme seg 25 nedanfrå, blir karakteren 1. Dersom vi lar poengsummen nærme seg 25 ovanfrå, blir karakteren 2. Blir poengsummen nøyaktig 25, blir òg karakteren 2.

Funksjonen er dermed ikkje kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

Eit koordinatsystem med nemninga poeng langs x-aksen og karakter langs y aksen er teikna. 6 linjestykke er teikna inn. Det første linjestykket går vassrett langs ei linje der y er lik 1, og strekker seg frå og med x er lik 0 til x er lik 25. Det andre linjestykket går vassrett langs ei linje der y er lik 2, og strekker seg frå og med x er lik 25 til x er lik 45. Det tredje linjestykket går vassrett langs ei linje der y er lik 3, og strekker seg frå og med x er lik 45 til x er lik 60. Det fjerde linjestykket går vassrett langs ei linje der y er lik 4, og strekker seg frå og med x er lik 60 til x er lik 80. Det femte linjestykket går vassrett langs ei linje der y er lik 5, og strekker seg frå og med x er lik 80 til x er lik 95. Det sjette linjestykket går vassrett langs ei linje der y er lik 6, og strekker seg frå og med x er lik 95 til og med x er lik 100. Illustrasjon.

2.2.3

Gjennom eit vinterdøgn vart det målt følgande temperaturar:

Temperatur gjennom eit vinterdøgn
Tidspunkt	Temperatur i °C
02:00	$- 8, 0$
06:00	$- 10, 8$
10:00	$- 7, 4$
14:00	$- 4, 9$
18:00	$- 6, 5$
22:00	$- 7, 8$

Her kan vi oppfatte temperaturen som ein funksjon av tida. Avgjer om funksjonen er kontinuerleg gjennom heile døgnet.

Løysing

Grafen til funksjonen vil vere samanhengande i heile området, sidan temperatur ikkje kan gjere sprang. Han må endrast gradvis. Funksjonen er kontinuerleg gjennom heile døgnet. Grafen er her teikna som rette linjestykke mellom målepunkta. Vi kan ikkje vere sikre på korleis grafen går mellom målepunkta, heller ikkje om målepunkta representerer maksimums- og minimumstemperaturane.

Eit koordinatsystem der x-aksen har tittelen timar etter midnatt og y-aksen har tittelen temperatur i °C. Rette linjestykke mellom punkt dannar ei samanhengande linje. Punkta er 2 og minus 8, det andre punktet er 6 og minus 10,8, det tredje punktet er 10 og minus 7,4, det fjerde punktet er 14 og minus 4,9, det femte punktet er 18 og minus 6,5, og det siste punktet er 22 og minus 7,8. Illustrasjon.

2.2.4

Figuren til høgre viser grafen til funksjonen f.

Eit koordinatsystem med to piler som peiker mot kvarandre. Den eine er søkkande og stoppar i punktet x er minus 2 og y er 4. Den andre pila er stigande og stoppar i det same punktet. Illustrasjon.

a) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = 2$

b) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 2$

c) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2} f (x)$

Løysing

Her er dei to einsidige grenseverdiane like, så vi kan seie at:

$\lim_{x \to - 2} f (x) = 2$

d) Finn $f (- 2)$ dersom han eksisterer.

Løysing

Grafen viser eit brot ved $x = - 2$ . Det eksisterer derfor ingen funksjonsverdi for $x = - 2$ .

e) Er funksjonen kontinuerleg?

Løysing

Ja, funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x unnateke når $x = - 2$ . For denne verdien er funksjonen ikkje definert, dermed er funksjonen kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

2.2.5

Figuren til høgre viser grafen til funksjonen f.

Eit koordinatsystem med to piler som peiker mot kvarandre. Den eine er søkkande og stoppar i punktet x er minus 2 og y er 2. Den andre pila er stigande og stoppar i punktet x er minus 2 og y er 1. Illustrasjon.

a) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = 2$

b) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$

Løysing

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 1$

c) Finn grenseverdien dersom han eksisterer.

$\lim_{x \to - 2} f (x)$

Løysing

Her er dei to einsidige grenseverdiane ulike, så dermed eksisterer ikkje denne grenseverdien.

d) Finn $f (- 2)$ dersom han eksisterer.

Løysing

Grafen viser eit brot ved $x = - 2$ . Det eksisterer derfor ingen funksjonsverdi for $x = - 2$ .

e) Er funksjonen kontinuerleg?

Løysing

Ja, funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x unnateke når $x = - 2$ . For denne verdien er funksjonen ikkje definert, dermed er funksjonen kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

2.2.6

Finn definisjonsområdet til funksjonane og avgjer i kva område funksjonane f og g er kontinuerlege?

a) $f (x) = \frac{x - 2 x}{x}$

Løysing

Funksjonen er kontinuerleg for alle verdiar av x der han er definert, sidan det er ein rasjonal funksjon. Sidan funksjonen ikkje er definert for $x = 0$ , kan vi seie at han er definert for $x \in ℝ \ {0}$ .

b) $g (x) = \frac{1}{x}$

Løysing

Kontinuerlege funksjonar

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6