Funksjonar med delt forskrift

Einsidige grenseverdiar

Før vi byrjar med funksjonar med delt forskrift, presiserer vi kva vi meiner med einsidige grenseverdiar.

Ein funksjon kan ha to ulike grenseverdiar når x nærmar seg ein verdi a, avhengig av om x nærmar seg a frå høgre eller frå venstre.

Døme

Nedanfor har vi grafen til ein ukjend funksjon f.

🤔 Tenk over: Kva er $f\left(4\right)$?

Grafen gjer eit hopp ved $x=4$. Ut frå grafen les vi at når x nærmar seg 4 frå venstre, nærmar funksjonsverdien seg 1. Matematisk skriv vi dette som

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$

Dette kallar vi ein einsidig grenseverdi fordi vi berre ser på kva som skjer når x nærmar seg ein verdi frå den eine sida, her frå venstre side. Legg merke til at vi skriv eit minusteikn som høg indeks på firetalet.

Når x nærmar seg 4 frå høgre, les vi ut frå grafen at funksjonsverdien nærmar seg 2. Matematisk skriv vi dette som

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2$

med eit plussteikn som høg indeks på firetalet.

🤔 Tenk over: Kva er $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)$?

Funksjonar med delt forskrift

Korleis ser funksjonsuttrykket ut til ein graf som hoppar slik som i dømet over? Jo, vi kan bestemme at funksjonen skal vere slik at eitt funksjonsuttrykk gjeld for x-verdiar opp til ein bestemd verdi, mens eit anna uttrykk gjeld vidare. Då seier vi at funksjonen har delt forskrift.

Døme 1

Billettprisen for vaksne på ein fotballkamp er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vi lar funksjonen $p\left(x\right)$ vere prisen som ein tilskodar med alder x år må betale for å sjå fotballkampen. Då kan vi skrive funksjonen med delt forskrift.

$p\left(x\right)=\{\begin{array}{l}60, 0<x<18\\ 100, 18\le x \end{array}$

Her betyr det at$p\left(x\right)=60$når $0<x<18$, og $p\left(x\right)=100$ når $18\le x$.

• Grenseverdien når x går mot 18 frå venstre er lik 60.

• Grenseverdien når x går mot 18 frå høgre er lik 100.

• Funksjonsverdien når $x=18$, er 100.

Det betyr at funksjonen p er diskontinuerleg.

Delt funksjonsforskrift med GeoGebra

Vi kan få GeoGebra til å teikne funksjonen i døme 1 ved å bruke kommandoen "Dersom" og skrive inn vilkåra og tilhøyrande funksjonsuttrykk etter kvarandre med komma mellom:

p(x)=Dersom(0<x<18,60,18<=x,100)

Døme 2

Funksjonar treng ikkje vere diskontinuerlege sjølv om dei er gitt med delt forskrift.

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^2-3 , x<4\\ x-3 , x⩾4\end{array}$

🤔 Tenk over: Kva betyr den delte funksjonsforskrifta over?

🤔 Tenk over: Studer korleis vi bruker kommandoen "Dersom" over for å skrive inn funksjonen p som har delt funksjonsforskrift. Kva må vi skrive i GeoGebra for å få teikna funksjonen f?

🤔 Tenk over: Kvifor kan vi ikkje bruke varianten "Dersom(<Vilkår>,<Så>,<Elles>)" i dømme 1?

På biletet har vi markert med symbol som viser at punktet $x=4$ høyrer til den høgre delen av grafen, som høyrer til det andre funksjonsuttrykket ($x-3$).

Er funksjonen f ein kontinuerleg funksjon? Dei to uttrykka i funksjonsforskrifta til f er begge polynom og kontinuerlege funksjonar for alle $x\in \mathrm{ℝ}$. Det einaste vi må undersøke spesielt, er om funksjonen f er kontinuerleg der han skiftar uttrykk, det vil seie for $x=4$. Det ser ut som om grafen heng saman her, men vi sjekkar om $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=f\left(4\right)$, som er kravet til kontinuitet i dette punktet.

Vi startar med å sjekke grenseverdien når x går mot 4 frå venstre.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{4}{x}^2-3\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{4}·16-3=1\end{array}$

Grenseverdien når x går mot 4 frå høgre, er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 4^{+}}{\lim }\left(x-3\right)\\ & =& 4-3=1\end{array}$

Funksjonsverdien i punktet der $x=4$, er

$f\left(4\right)=4-3=1$

Dei to grenseverdiane og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerleg for $x=4$ og kontinuerleg i heile definisjonsområdet, som er alle reelle tal. Vi seier at funksjonen er kontinuerleg for alle $x\in \mathrm{ℝ}$.

Døme 3

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}{x}^2-1 , x<2\\ 2x-8 , x\ge 2\end{array}$

Vi skal undersøke om funksjonen er kontinuerleg for $x=2$.

Vi sjekkar grenseverdien til funksjonen for x-verdiane der funksjonen skiftar uttrykk.

Grenseverdien når x går mot 2 frå venstre, er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)& = & \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(-\frac{1}{4}{x}^2-1\right)\\ & & \\ & =& -\frac{1}{4}·2^2-1=-2\end{array}$

Grenseverdien når x går mot 2 frå høgre, er

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x-8\right)\\ & =& 2·2-8\\ & =& -4\end{array}$

Funksjonsverdien i punktet der $x=2$, blir

$f\left(2\right)=2·2-8=-4$

Dei to grenseverdiane er ikkje like. Funksjonen f er dermed ikkje kontinuerleg for $x=2$. For alle andre verdiar er funksjonen kontinuerleg. Vi kan dermed seie at funksjonen ikkje er kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt. Vi kan òg sjå dette av grafen til f, som ikkje er samanhengande i heile definisjonsområdet sitt.

🤔 Tenk over: Kva skjer med funksjonen når det gjeld kontinuitet dersom vi endrar det andre vilkåret frå $x\ge 2$ til $x>2$?

Absoluttverdifunksjonen

Med absoluttverdien eller talverdien til eit tal meiner vi den positive avstanden frå origo langs x-aksen til talet. Til dømes er absoluttverdien av 3 lik 3 og absoluttverdien av $-3$ lik 3. Dette kan vi skrive ved hjelp av absoluttverditeiknet $| |$. Vi kan skrive

$\left|-3\right|=\left|3\right|=3$

Vi ser no på funksjonen

$f\left(x\right)=\left|x\right|$

Dette les vi som "f av x er lik absoluttverdien av x."

🤔 Tenk over: Kva gjer denne funksjonen, sagt med ord?

Ein verditabell for denne funksjonen kan sjå slik ut:

Nedanfor har vi teikna grafen til f.

🤔 Tenk over: Kva er verdimengda til f?

Absoluttverdifunksjonen i GeoGebra

Du kan teikne funksjonen f over ved å skrive f(x)=abs(x) i algebrafeltet i GeoGebra. GeoGebra-kommandoen "abs" gir oss absoluttverdien av det som blir putta inn.

Absoluttverdifunksjonen og delt funksjonsforskrift

🤔 Studer grafen til funksjonen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ over. Korleis kan denne funksjonen skrivast ved hjelp av ein delt funksjonsforskrift?

Døme

Funksjonen g er gitt som

$g\left(x\right)=\left|x+2\right|$

Vi ønsker å skrive funksjonen utan absoluttverditeikn ved å bruke delt funksjonsforskrift.

Det eine funksjonsuttrykket i den delte funksjonsforskrifta vil vere lik uttrykket inni absoluttverditeiknet, $x+2$. Det vil gjelde for alle x-verdiar der uttrykket er større enn eller lik 0. Dette gir oss ein ulikskap som vi kan løyse.

$\begin{array}{rcl}x+2 & \ge & 0\\ x & \ge & -2\end{array}$

For x-verdiar som er større enn eller lik $-2$, vil uttrykket vere større enn eller lik 0, og då treng vi ikkje absoluttverditeiknet. For x-verdiar som er mindre enn $-2$, vil uttrykket gi negativt svar. Funksjonsuttrykket som skal gjelde då, må vere lik "minus" det andre funksjonsuttrykket, for då blir resultatet positivt. Det andre funksjonsuttrykket blir derfor

$-\left(x+2\right)=-x-2$

Funksjonen g skriven utan absoluttverditeikn blir derfor

$g\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-x-2 , x<-2\\ x+2 , x\ge -2\end{array}$