Modellering og mønstergjenkjenning. Modellers gyldighet

Vi observerer at i grunnlinja øker antall prikker med 2 fra figur til figur. Prikkene over grunnlinja øker med 1. Figur nummer 4 ser derfor slik ut:

Det betyr at antallet prikker i figur nummer 4 er 10.

1, 4, 7, 10

Vi kan tenke oss at vi deler figur nummer 4 i tre deler slik bildet nedenfor viser.

Vi får éi gruppe som har like mange prikker som figurnummeret, det vil si 4, og to grupper som er én mindre enn figurnummeret, det vil si 3. Figurtall nummer n vil derfor bestå av éi gruppe med n prikker og to grupper som består av $n-1$ prikker. Det betyr at

$a_n=n+n-1+n-1=3n-2$

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger regresjonsanalyseverktøyet fra knapperaden øverst. Det ser ut som at punktene ligger på ei rett linje, så vi velger lineær regresjonsmodell.

Vi observerer at linja går midt gjennom alle punktene. Modellen vi får, er $y=3x-2$. Den gir samme formelen som vi kom fram til i oppgave c), når vi bytter ut x med n.

$a_{100}=3·100-2=300-2=298$

Formelen beskriver figurtallene eksakt, så den vil være gyldig uansett hvor stor n blir.

Formelen gjelder for de naturlige tallene fra og med 1 og oppover. n kan ikke være 0 eller negativ og heller ikke være et desimaltall.

Vi velger å løse oppgaven ved å lage ei for-løkke uten å definere formelen for $a_n$ som en egen funksjon i Python.

1for n in range(1, 101):
2  a_n = 3*n - 2              # regner ut figurtall nummer n
3  print(f"Figurtall nummer {n} er {a_n}.")

Vi går fra et tall til det neste ved å legge til 4. De to neste tallene blir 19 og 23.

Vi kan sette opp tallene i et mønster. Siden differansen mellom to nabotall er 4, er det naturlig å tenke seg at vi multipliserer tallnummeret med 4 og ser hvordan vi kommer ut. Da får vi at vi må trekke fra 1 på alle tallene.

• Tall nummer 1, $a_1$: $3=4·1-1$

• Tall nummer 2, $a_2$: $7=4·2-1$

• Tall nummer 3, $a_3$: $11=4·3-1$

• Tall nummer 4, $a_4$: $15=4·4-1$

På samme måte finner vi tall nummer n, $a_n$ ved å multiplisere n med 4 og trekke fra 1. Det gir oss formelen $a_n=4n-1$.

Vi kan bruke programmet i oppgave 1 som utgangspunkt og bare endre på koden for a_n i for-løkka.

1for n in range(1, 101):
2  a_n = 4*n - 1              # regner ut figurtall nummer n
3  print(f"Figurtall nummer {n} er {a_n}.")

Regn ut det neste tallet i følgen ut ifra det forrige.

Vi vet at vi kan regne ut det neste tallet i følgen ved å legge til 4. Det betyr at vi kan sette opp den rekursive formelen

$a_n=a_{n-1}+4$

Vi starter med å sette variabelen a_n lik $a_1$, det vil si lik 3, og skriver den ut. Så lager vi ei for-løkke der vi lar a_n øke med 4 for hver runde. Programmet kan se slik ut:

1a_n = 3       # setter a_n lik a_1, det første tallet
2print(f"Tall nummer 1 er {a_n}.")    # skriver ut det første tallet
3for n in range(2, 101):
4  a_n = a_n + 4              # regner ut figurtall nummer n
5  print(f"Tall nummer {n} er {a_n}.")

For å gå fra et tall til det neste multipliserer vi tallet med 2. De neste to tallene blir derfor 32 og 64.

Vi kan sette opp tallene i et mønster. Siden vi kommer fra et tall til det neste ved å multiplisere med 2, kan vi prøve å opphøye 2 i tallnummeret og se hva vi ender opp på.

Tall nummer 1, $a_1$: $2=2^1$

Tall nummer 2, $a_2$: $4=2·2=2^2$

Tall nummer 3, $a_3$: $8=2·2·2=2^3$

Tall nummer 4, $a_4$: $16=2·2·2·2=2^4$

På samme måte finner vi tall nummer n, $a_n$ ved å opphøye 2 i n. Det gir oss formelen $a_n=2^n$.

Vi starter med å sette variabelen sum lik 0. Så lager vi ei for-løkke der vi beregner $a_n$ og legger verdien til variabelen sum. Til slutt skriver vi ut sum.

1sum = 0       # summen er 0 før vi har lagt til noe
2
3for n in range(1, 21):
4  a_n = 2**n           # regner ut figurtall nummer n
5  sum = sum + a_n
6
7print(f"Summen av de 20 første tallene er {sum}.")

For å komme fra én figur til den neste, må både lengden og bredden øke med 1 når vi går fra en figur til den neste. Hver figur har én kolonne og én rad mer enn den forrige.

Siden hver figur har én kolonne og én rad mer enn den forrige, må den fjerde figuren ha 5 kolonner og 4 rader.

Tallet blir dermed $R_4=5·4=20$.

Vi kan regne ut rektangeltallene ved å multiplisere antall kolonner med antall rader slik vi gjorde i oppgave b). Vi observerer at antall rader er det samme som tallnummeret, mens antall kolonner er én mer. Det betyr at formelen for rektangeltall nummer n blir

$R_n=n\left(n+1\right)=n^2+n$

Vi har disse rektangeltallene fra oppgavene over:

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra og bruker regresjonsanalyseverktøyet. Ved å prøve med modellen "Polynom" med grad 2 får vi at andregradsfunksjonen

$y=x^2+x$

passer helt perfekt med verdiene i tabellen. Bytter vi ut x med n, får vi samme formel som i oppgave c).

Vi bruker programmet fra oppgave 1 og endrer på linja der vi regner ut $a_n$.

1for n in range(1, 50):
2  a_n = n**2 + n              # regner ut rektangeltall nummer n
3  print(f"Rektangeltall nummer {n} er {a_n}.")

Arealet $T_1$ er en fjerdedel av arealet T til trekanten ABC. Arealet $T_2$ er en fjerdedel av arealet $T_1$, og det blir tilsvarende for arealet $T_3$. Dette gir

$\begin{array}{rcl}{T}_1 & =& \frac{1}{4}·T=\frac{T}{4}\\ T_2 & =& \frac{1}{4}·T_1=\frac{1}{4}·\frac{T}{4}=\frac{T}{4^2}=\frac{T}{16}\\ T_3 & =& \frac{1}{4}·T_2=\frac{1}{4}·\frac{T}{4^2}=\frac{T}{4^3}=\frac{T}{64}\end{array}$

Vi så i oppgave a) at vi kunne skrive arealene som T delt på en potens med grunntall 4 og tallnummeret som eksponent. Det betyr at en formel for arealet $T_n$ blir

$T_n=\frac{T}{4^n}$

$\begin{array}{rcl}{T}_{10} & =& \frac{T}{4^{10}}\\ T_{1000} & =& \frac{T}{4^{1000}}\end{array}$

$T_1$ er en tredjedel av arealet til firkanten ABED. $T_2$ er en tredjedel av arealet til firkanten DEHG, og slik kan vi fortsette videre. Siden vi deler opp trekanten ABC i stadig mindre firkanter der $T_n$ utgjør en tredjedel, må summen av arealet av alle de fargelagte trekantene være lik tredjedelen av arealet til den store trekanten ABC. Vi kan skrive det slik:

$T_1+T_2+T_3+ ... =\frac{T}{3}$

Arealet av de fargelagte trekantene skal bli

$\frac{T}{3}=\frac{3}{3}=1$

Vi får at

$T_n=\frac{1}{4^n}$

Vi lar programmet summere arealene av de fargelagte trekantene. Vi kan ikke summere et uendelig antall arealer, men vi vet at arealene $T_n$ blir mindre jo større n blir. Derfor kan vi for eksempel lage programmet slik at når $T_n<0,000 1$, slutter det å summere.

Programmet kan se ut som nedenfor. Her har vi i tillegg skrevet ut hvor mange trekanter som er tatt med i beregningen:

1T = 3             # setter arealet av trekanten ABC lik 3
2areal = 0         # setter arealet lik 0 før vi har begynt å summere
3T_min = 0.0001    # setter grense for når summeringen skal slutte
4T_n = 1                  # setter en startverdi på T_n slik at while-løkka starter
5n = 0                    # setter startverdi for n
6
7while T_n >= T_min:
8  n = n + 1
9  T_n = T/4**n    # regner ut arealet av trekant nummer n
10  areal = areal + T_n
11
12print(f"Arealet av de fargelagte trekantene er {areal}.")
13print(f"Svaret er beregnet med de {n} største trekantene.")

Ved bare å ta med de 8 største trekantene blir arealet 0,999 985 ... Ved å sette variabelen minste_areal til en enda mindre verdi enn 0,000 1, vil vi komme enda nærmere 1 til svar.

Vi har at punktene D, E og F ligger midt på hver sin side av trekanten ABC. Vi får derfor at

$DF=AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}·\frac{O}{3}=\frac{O}{6}$

Det betyr at

$O_1=3DF=3·\frac{O}{6}=\frac{O}{2}$

Trekanten CDE har samme omkrets som trekanten DEF siden de er like. Det betyr at

$O_2=\frac{1}{2}{O}_1=\frac{1}{2}·\frac{O}{2}=\frac{O}{2^2}=\frac{O}{4}$

og videre at

$O_3=\frac{1}{2}{O}_2=\frac{1}{2}·\frac{O}{2^2}=\frac{O}{2^3}=\frac{O}{8}$

I forrige oppgave viser mellomregningene at vi får omkretsen til trekant nummer n ved å ta O og dele på en potens med 2 som grunntall og n som eksponent. Formelen blir derfor

$O_n=\frac{O}{2^n}$

$O_4=\frac{O}{2^4}=\frac{O}{16}$

Vi får at $O=3$. Vi tar utgangspunkt i programmet i oppgave e).

1O = 3             # setter omkretsen av trekanten ABC lik 3
2omkrets = 0         # setter omkretsen lik 0 før vi har begynt å summere
3O_min = 0.0001    # setter ei grense for når summeringen skal slutte
4O_n = 1                  # setter en startverdi på O_n slik at while-løkka starter
5n = 0                    # setter startverdi for n
6
7while O_n >= O_min:
8  n = n + 1
9  O_n = O/2**n    # regner ut omkretsen av trekant nummer n
10  omkrets = omkrets + O_n
11  
12print(f"Omkretsen av de fargelagte trekantene er {omkrets}.")
13print(f"Svaret er beregnet med de {n} største trekantene.")

Ved å ta med de 100 største trekantene blir summen av omkretsen så godt som 3. Summen av omkretsen til alle de fargelagte trekantene er lik omkretsen til trekanten ABC.

Vi ser at vinkelsummen øker med 180° fra trekant til firkant og fra firkant til femkant. Vi får videre at

• vinkelsummen til en trekant er $180°=1·180°$
• vinkelsummen til en firkant er $360°=2·180°$
• vinkelsummen til en femkant er $540°=3·180°$

Vi får at vi må multiplisere 180° med et tall som er 2 mindre enn antall kanter i mangekanten. Formelen for vinkelsummen V i en n-kant blir derfor

$V=\left(n-2\right)·180°$

En regulær femkant består av 5 helt like (kongruente) likebeinte trekanter. I hver trekant er $u+u+w=2u+w=180°$.

Er du enig i at vinkelen v i femkanten er det dobbelte av vinkelen u, det vil si at $v=2u$? Da kan vi skrive

$\begin{array}{rcl}v+w & =& 180°\\ v & =& 180°-w\end{array}$

Hvis vi ser på sentrum i femkanten, har vi også at $5w=360°$. Dette gir

$w=\frac{360°}{5}$

Setter vi dette inn i likningen over, får vi at

$v=180°-\frac{360°}{5}$

Vi kan regne ut svaret til 108°, men her er poenget å komme fram til en formel.

Hvis vi gjør det samme som over med en regulær sjukant, får vi at

$v=180°-\frac{360°}{7}$

Vi får derfor at vinkelen v i en regulær n-kant blir

$v=180°-\frac{360°}{n}$

Denne formelen gjelder for alle naturlige tall n som er større enn eller lik 3 siden en regulær mangekant ikke kan ha færre kanter enn 3.

Prikkene i hver figur (bortsett fra figur 1) danner en rettvinklet trekant. Figur 2, 3 og 4 har antall prikker i høyden og lengden lik figurnummeret.

Figur 5 vil ha 5 prikker i høyden og i bredden. Figur 6 vil ha 6 prikker i høyden og i bredden og så videre. Vi kan også si at figurene vokser ved å legge på et lag med prikker på hypotenusen i trekanten. Antallet prikker i figur 5 er derfor lik antallet prikker i figur 4 pluss 5 prikker: $10+5=15$. Antallet prikker i figur 6 er videre lik antallet prikker i figur 5 pluss 6 prikker: $15+6=21$.

Formelen blir slik fordi i hver ny figur øker vi antall prikker med nummeret på figuren.

Tenk deg at du setter to like figurer, for eksempel figur 4, oppå hverandre.

Vi tar for oss figur 4. Hvis vi setter to like figurer oppå hverandre slik som bildet viser, får vi et rektangel der bredden er lik figurnummeret (her: 4) og høyden er én større enn figurnummeret.

Vi vet at vi har dobbelt så mange prikker som figurtallet, så vi kan regne ut antallet prikker i figurtall nummer 4 (og dermed trekanttall nummer 4) som

$t_4=\frac{5·4}{2}\left(=10\right)$

Det blir tilsvarende for de andre figurtallene. Antall prikker i figurtall nummer n, og dermed formelen for trekanttall nummer n, blir

$t_n=\frac{\left(n+1\right)·n}{2}$

Bruk formelen og legg sammen trekanttall $t_n$ og $t_{n+1}$. Du finner formelen for trekanttall nummer $n+1$ ved å erstatte n med $n+1$ i formelen.

$\begin{array}{rcl}{t}_n+t_{n+1} & =& \frac{\left(n+1\right)·n}{2}+\frac{\left(\left(n+1\right)+1\right)·\left(n+1\right)}{2}\\ & =& \frac{\left(n+1\right)·n+\left(n+2\right)·\left(n+1\right)}{2}\\ & =& \frac{n^2+n+n^2+n+2n+2}{2}\\ & =& \frac{2n^2+4n+2}{2}\\ & =& \frac{2\left(n^2+2n+1\right)}{2}\\ & =& n^2+2n+1\\ & =& {\left(n+1\right)}^2\end{array}$

Summen blir altså et kvadrattall uansett hva $n$ er.

For hvert nytt lag får vi et nytt kvadrat som øker med 1 boks i lengde og bredde. Fra $P_2$ til $P_3$ øker derfor antallet bokser med $3·3=9$, og vi får at $P_3=5+9=14$ bokser.

Vi får at

$\begin{array}{rcl}{P}_1 & =& 1\\ P_2 & =& 1+2^2=P_1+2^2\\ P_3 & =& P_2+3^2\\ P_4 & =& P_3+4^2\\ & & ⁝\end{array}$

Vi får at hvert pyramidetall er lik det foregående pluss tallnummeret opphøyd i andre. Det betyr at vi kan skrive

$P_n=P_{n-1}+n^2$

Vi får derfor at pyramidetallene $P_4$ og $P_5$ blir

$\begin{array}{rcl}{P}_4 & =& P_3+4^2=14+16=30\\ P_5 & =& P_4+5^2=30+25=55\end{array}$

Vi har nå disse pyramidetallene:

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger regresjonsanalyseverktøyet. Vi må ha en modell som stiger raskere og raskere. En andregradsfunksjon passer ikke helt, men en tredjegradsfunksjon gjør det, se bildet nedenfor.

Vi gjenkjenner koeffisienten foran tredjegradsleddet som $\frac{1}{3}$, koeffisienten foran andregradsleddet som $\frac{1}{2}$ og koeffisienten foran førstegradsleddet som $\frac{1}{6}$.

Formelen for pyramidetall nummer n blir

$P\left(n\right)=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$

Vi regner ut formelen i oppgave d).

$\begin{array}{rcl}{P}_n & =& \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\\ & =& \frac{n}{6}\left(2n^2+n+2n+1\right)\\ & =& \frac{n}{6}\left(2n^2+3n+1\right)\\ & =& \frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n\end{array}$

Vi kan også vise dette med CAS:

Formelen i oppgave b) gir

$P_6=P_5+6^2=55+36=91$

Formelen i oppgave d) gir

$P_6=\frac{6\left(6+1\right)\left(2·6+1\right)}{6}=7·13=91$

Formelen stemmer.

Vi kan også regne ut dette med CAS:

Vi må finne ut hvilken verdi av n som er den største vi kan ha for at figurtallet skal være så stort som mulig, men mindre enn eller lik 1 000. Vi setter $P_n=1 000$ og løser likningen med CAS.

Fra linje 3 får vi at det blir 13 lag med bokser i pyramiden, og at det nederste laget vil bestå av $13·13=169$ bokser. I linje 4 har vi regnet ut at $P_{13}=819$. Totalt går det med 819 bokser til pyramiden.

Vi lager et program som regner ut $P\left(n\right)$ for stadig økende n helt til resultatet blir større enn 1 000. Vi kan gjøre dette med ei while-løkke. Programmet kan se slik ut:

1def P(n):                           # definerer funksjonen P(n)
2  return n*(n + 1)*(2*n + 1)/6
3  
4n = 1
5
6while P(n) <= 1000:
7  n = n + 1
8 
9n = n - 1        # while-løkka gir én for mye i verdi på n
10print(f"Det blir totalt {n} lag med bokser, og det går med {P(n)} bokser til pyramiden.")

Vi lager en ny rad i tabellen for x-verdiene.

Vi skriver inn tallene i regnearkdelen i GeoGebra og velger verktøyet "Regresjonsanalyse" med valget "Lineær" som regresjonsmodell.

Den rette linja som passer best med alle tallene, er

$f\left(x\right)=0,0269x+3,258$

Modellen passer ganske godt, men det kan se ut som folketallet mot slutten av perioden steg raskere enn ellers.

Aktuelle modeller kan være polynomfunksjoner eller eksponentialfunksjoner.

Regresjonsmodell "Polynom med grad 2":

$f_{p2}\left(x\right)=0,0001x^2+0,021x+3,31$

Her måtte vi skru på 4 desimaler i innstillingene til GeoGebra for å se hva koeffisienten foran andregradsleddet egentlig var. Den er svært liten, og det ser vi også av grafen, som er nesten rettlinjet. Andregradsfunksjonen $f_{p2}$ passer derfor ikke noe særlig bedre enn den rette linja f, men den krummer litt oppover slik at modellen stemmer bedre med at folketallet stiger raskere mot slutten av perioden.

Regresjonsmodell "Polynom med grad 3":

$f_{p3}\left(x\right)=0,00002x^3-0,0014x^2+0,057x+3,19$

Koeffisienten foran tredjegradsleddet er svært liten. Likevel passer tredjegradsfunksjonen bedre enn andregradsfunksjonen siden veksten i folketallet først avtar og deretter stiger.

Regresjonsmodell "Eksponentiell":

$f_e\left(x\right)=3,31·1,{007}^x$

Denne grafen ser omtrent ut som grafen til $f_{p2}$. Den passer derfor heller ikke så godt som grafen til $f_{p3}$.

Prøv gjerne andre regresjonsmodeller også!

Overfør modellene til det vanlige grafikkfeltet. Tegn så inn de nye punktene, og se hvor godt de passer inn.

Alle modellene unntatt den rette linja vil gi en vekst som øker mer og mer. Det er ikke så veldig sannsynlig. Det er kanskje heller ikke så veldig sannsynlig med jevn lineær vekst; folketallet kan ikke fortsette å vokse i det uendelige.

Dersom vi bare tar med tall fra 1990 og utover, får vi bare den delen der veksten er økende. Da vil for eksempel en eksponentialfunksjon passe bedre enn i de forrige oppgavene, og en lineær modell vil passe dårligere.

Vi legger tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger regresjonsanalyseverktøyet. Vi velger "Ingen" som regresjonsmodell og kopierer til grafikkfeltet. Alternativt kan vi skrive inn punktene manuelt i algebrafeltet.

Vi går tilbake til regresjonsanalyseverktøyet og velger modellen "Polynom" av grad 3 siden f er en tredjegradsfunksjon. Så kopierer vi resultatet til grafikkfeltet.

Vi observerer at grafen passer veldig godt med funksjonen f når

$f\left(x\right)=-x^3+10,41x^2+20,91x+14,65$

20 % økning gir en vekstfaktor på 1,2. Vi tegner derfor funksjonen

$g\left(x\right)=f\left(x\right)·1,2$

Se den stiplede grafen på bildet nedenfor. Vi tegner videre linja $y=300$ og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til g med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Vi får at grafen krysser linja $y=300$ for $y=4,91\approx 5$ og $y=10,19\approx 10$. Det betyr at det forventede pølsesalget i 2012 er større enn 300 fra og med mai til og med oktober.