Pytagorassetningen

Hva er pytagorassetningen?

Tegn en trekant som er rettvinklet og der de korteste sidene er tre og fire enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne fem enheter lang?

Ta nå alle de tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden $c$ er $c^2=5^2=25$.

Kvadratet av sidelengden $a$ er $a^2=3^2=9$.

Kvadratet av sidelengden $b$ er $b^2=4^2=16$.

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste sida. Hva ser du?

Vi ser at $25=9+16$. Det er det samme som $c^2=a^2+b^2$.

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste sida i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

Pytagorassetningen:

${\mathrm{hypotenus}}^2={{\mathrm{katet}}_1}^2+{{\mathrm{katet}}_2}^2$

$c^2=a^2+b^2$

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har den samme bokstaven på motstående hjørner og sider.

Geometrisk bevis for pytagorassetningen

Lag et kvadrat med sidelengder $a+b$. Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe det ut av et stivt papir, eller du kan tegne det i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler $a$ og $b$, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten fire like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du $c$.

Det grå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde $c$ og areal $c^2$.

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik $a+b$ .

Samlet areal til de fire rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at de grå arealene i de to figurene er like store, altså at $c^2=a^2+b^2$ . Dette er nettopp pytagorassetningen for våre rettvinklede trekanter.

Å finne ukjente sider i en rettvinklet trekant

Eksempel 1. Hypotenusen er ukjent

Vi ønsker å finne ut hvor lang sida $c$ på figuren er. Dette er hypotenusen i trekanten, og pytagorassetningen gir:

$\begin{array}{rcl}{c}^2& = & 2,0^2+5,0^2\\ & & \\ c^2& =& 4,0+25,0\\ & & \\ c^2& =& 29,0\\ & & \\ c& =& \sqrt{29,0}\\ & & \\ c& =& 5,38\approx 5,4\end{array}$

Sida $c$ er 5,4 centimeter.

Eksempel 2. Kateten er ukjent

Vi ser nå på den neste trekanten. Denne gangen velger vi å bruke CAS for å finne den ukjente sida ved hjelp av pytagorassetningen:

Sida $AB$ er 5,9 meter.

Eksempel 3. Et praktisk eksempel

En stige skal plasseres 2,4 meter fra en husvegg slik at den akkurat når opp til vinduskarmen i et vindu i andre etasje. Vinduskarmen er 4,6 meter over bakken.

Hvor lang må stigen være?

Løsning

La stigen være $x$ meter lang.

Pytagorassetningen gir

Stigen må være $5,2$ meter lang.

Lage rette vinkler ved hjelp av pytagorassetningen

Her kan du se en video som viser hvordan man kan bruke pytagorassetningen i praksis når man skal lage rette vinkler.

Se videoen, og etterpå kan du kanskje bruke noe av det du lærte til å sjekke om hjørnene i klasserommet ditt eller i stua hjemme er rette? Alt du trenger, er en tommestokk eller et målebånd!