Oppgave

Interaktivt innhold

Grunnleggende begreper og sammenhenger. Vinkler

Her kan du jobbe med sentrale, grunnleggende geometriske begreper og sammenhenger.

Oppgave 1

Hvordan definerer vi

a) ei linje?

Løsning

Ei linje består av uendelig mange punkter etter hverandre slik at figuren vi får når vi tegner punktene, ikke krummer, men går i samme retning hele tida. Linja har en uendelig utstrekning i begge retninger (én dimensjon).

b) et linjestykke?

Løsning

Et linjestykke er en del av ei linje og avgrenses av to endepunkter.

c) en stråle?

Løsning

En stråle er en del av ei linje og avgrenses av ett endepunkt. Strålen har uendelig utstrekning i én retning.

Oppgave 2

Tegn en rett, en spiss og en stump vinkel.

Løsning

Rett vinkel:

To linjestykker starter i samme punkt. Vinkelen mellom linjestykkene er 90 grader. Det ene linjestykket står rett opp, det andre linjestykket går rett ut til siden. Illustrasjon. — Rett vinkel

Spiss vinkel:

To linjestykker starter i samme punkt. Vinkelen mellom linjestykkene er mindre enn 90 grader. Vinkelen likner på en blyantspiss. Illustrasjon. — Spiss vinkel

Stump vinkel:

To linjestykker starter i samme punkt. Vinkelen mellom linjestykkene er større enn 90 grader. Illustrasjon. — Stump vinkel

En rett vinkel er 90°.

En spiss vinkel er mindre enn 90°.

En stump vinkel er større enn 90° og mindre enn 180°.

Oppgave 3

Sett navn på de markerte vinklene på figurene ut ifra de oppgitte punktene.

Linjestykkene A B, B C og B D er tegnet slik at de danner to vinkler som begge har linjestykket B D som vinkelbein. Vinkelen som har A B som høyre vinkelbein og B D som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.

Løsning

Den markerte vinkelen har AB som høyre vinkelbein og BD som venstre vinkelbein. Toppunktet er B, så det korrekte navnet på vinkelen blir derfor ABD.

Linjestykkene A B, B C og B D er tegnet slik at de danner to vinkler som begge har linjestykket B D som vinkelbein. Vinkelen som har B D som høyre vinkelbein og B C som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.

Løsning

Den markerte vinkelen har BD som høyre vinkelbein og BC som venstre vinkelbein. Det korrekte navnet på vinkelen blir derfor DBA.

Linjestykkene A B, B C og B D er tegnet slik at de danner to vinkler som begge har linjestykket B D som vinkelbein. Vinkelen som har B C som høyre vinkelbein og A B som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.

Løsning

Den markerte vinkelen har BC som høyre vinkelbein og AB som venstre vinkelbein. Det korrekte navnet på vinkelen blir derfor CBA.

Løsning

Den markerte vinkelen har AB som høyre vinkelbein og BC som venstre vinkelbein. Det korrekte navnet på vinkelen blir derfor ABC.

e) En vinkel har linjestykket AB som høyre vinkelbein og linjestykket AC som venstre vinkelbein. Hva blir det korrekte navnet på vinkelen ut ifra punktene?

Tips til oppgaven

Finn først ut hvilket punkt som er toppunktet til vinkelen.

Løsning

Siden A er et av endepunktene på begge linjestykkene, er dette toppunktet til vinkelen. Siden B ligger på høyre vinkelbein, blir det korrekte navnet på vinkelen BAC.

f) En vinkel har linjestykket BC som høyre vinkelbein og linjestykket AC som venstre vinkelbein. Hva blir det korrekte navnet på vinkelen ut ifra punktene?

Løsning

Siden C er et av endepunktene på begge linjestykkene, er dette toppunktet til vinkelen. Siden B ligger på høyre vinkelbein, blir det korrekte navnet på vinkelen BCA.

Oppgave 4

a) Tegn to komplementvinkler.

Løsning

Vinkelen mellom linjestykkene A B og B C er 90 grader. Linjestykket B D ligger mellom A B og A C slik at vinkel A B D pluss vinkel C B D er 90 grader. Illustrasjon. — Komplementvinkler

Vinklene $A B D$ og $D B C$ er komplementvinkler.

b) Tegn to supplementvinkler.

Løsning

Punktet B ligger på linjestykket A C. Et linjestykke er tegnet mellom B og et annet punkt, D. Summen av vinkel A B D og vinkel C B D er 180 grader. Illustrasjon. — Supplementvinkler

Vinklene $A B D$ og $D B C$ er supplementvinkler.

Oppgave 5

Sett sammen begrep og forklaring.

Geometriske begreper
Geometrisk begrep	Forklaring
1. punkt	a. består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i én retning
2. linje	b. avgrenset av to endepunkter
3. linjestykke	c. har ingen utstrekning, men har en bestemt posisjon
4. stråle	d. består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i begge retninger
5. plan	e. har uendelig utstrekning i to dimensjoner

Løsning

1c, 2d, 3b, 4a, 5e

Oppgave 6

a) Hvor stor er vinkel CAB på figuren nedenfor når vinkel BAC er 50°?

Linjestykkene A B og A C er tegnet. Vinkelen som har A B som høyre vinkelbein og A C som venstre vinkelbein, er 50 grader. Vinkelen som har A C som høyre vinkelbein og A B som venstre vinkelbein, er markert. Illustrasjon.

Løsning

Vinkel BAC på figuren er 50°. Vinkel CAB og vinkel BAC utgjør til sammen en hel sirkel. Det betyr at

$∠ C A B = 360 ° - ∠ B A C = 360 ° - 50 ° = 310 °$

b) Hvor stor er vinkel DBC på figuren nedenfor når vinkel ABD er 35°?

Vinkelen mellom linjestykkene A B og B C er 90 grader. Linjestykket B D ligger mellom A B og A C slik at vinkel A B D pluss vinkel C B D er 90 grader. Vinkel A B D er 35 grader. Illustrasjon.

Løsning

Siden de to vinklene er komplementvinkler, får vi

$∠ D B C = 90 ° - ∠ A B D = 90 ° - 35 ° = 55 °$

c) Hvor stor er vinkel DBC på figuren nedenfor når vinkel ABD er 35°?

Punktet B ligger på linjestykket A C. Et annet linjestykke er tegnet mellom punktet B og et annet punkt, D. Vinkel A B D er 70 grader. Summen av vinkel A B D og vinkel C B D er 180 grader. Illustrasjon.

Løsning

Siden de to vinklene er supplementvinkler, får vi

$∠ D B C = 180 ° - ∠ A B D = 180 ° - 70 ° = 110 °$

d) Hvor stor er vinkel ABD på figuren nedenfor når vinkel DBC er 35°?

Punktet B ligger på linjestykket A C. Et annet linjestykket går mellom punktet B og et annet punkt, D. Vinkel C B D er 35 grader. Summen av vinkel A B D og vinkel C B D er 180 grader. Illustrasjon.

Løsning

Siden de to vinklene er supplementvinkler, får vi

$∠ A B D = 180 ° - ∠ D B C = 180 ° - 35 ° = 145 °$

e) Hvor stor er vinkel ABD på figuren nedenfor når vinkel DBC er 37°?

Løsning

Siden de to vinklene er komplementvinkler, får vi

$∠ A B D = 90 ° - ∠ D B C = 90 ° - 37 ° = 53 °$

Oppgave 7

a) Hva kalles to linjer som ligger i samme plan og ikke skjærer hverandre?

b) Hva kalles en vinkel på 90°?

c) Hva kalles en vinkel mellom 0° og 90°?

d) Hva kalles en vinkel mellom 90° og 180°?

e) Hva kalles to vinkler som til sammen er 90°?

f) Hva kalles to vinkler som til sammen er 180°?

Løsning

a) parallelle linjer

b) rett vinkel

c) spiss vinkel

d) stump vinkel

e) komplementvinkler

f) supplementvinkler

Oppgave 8

Bruk figuren når du svarer på spørsmålene.

To linjestykker A B og C D skjærer hverandre i punktet E. Illustrasjon.

a) Hva er sammenhengen mellom vinklene CEA og DEB?

Løsning

Vinklene CEA og DEB er de to spisse vinklene på figuren. De er toppvinkler.

b) Hva er sammenhengen mellom vinklene AED og BEC?

Løsning

Vinklene AED og BEC er de to stumpe vinklene på figuren. De er også toppvinkler.

c) Hva er sammenhengen mellom vinklene CEA og BEC?

Løsning

Vinklene CEA og BEC er supplementvinkler.

d) Hva er sammenhengen mellom vinklene AED og DEB?

Løsning

Vinklene AED og DEB er supplementvinkler.

e) Hva er sammenhengen mellom vinklene CEA og AEC?

Løsning

Summen av vinklene CEA og AEC er 360°. Husk at CEA og AEC ikke er samme vinkel! Rekkefølgen på bokstavene har betydning siden punktet på vinkelbeinet til høyre når vi står i toppunktet E, skal nevnes først. Vinkel AEC blir derfor resten av en hel sirkel når vi "tar bort" vinkel CEA, se figuren nedenfor.

To linjestykker A B og C D skjærer hverandre i punktet E. Vinkel C E A utgjør en liten del av en sirkel, mens vinkel A E C utgjør resten av sirkelen. Illustrasjon.

Se også teorisiden "Grunnleggende begreper og sammenhenger. Vinkler".

Oppgave 9

To parallelle linjer m og n skjæres begge av ei tredje linje l. Vinkelen alfa har l som høyre vinkelbein og n som venstre vinkelbein. Vinkel beta er 50 grader og har n som høyre vinkelbein og l som venstre vinkelbein. Vinkelen u har m som høyre vinkelbein og l som venstre vinkelbein. Vinkelen w har m som høyre vinkelbein og l som venstre vinkelbein. Vinkelen v har l som høyre vinkelbein og m som venstre vinkelbein. Illustrasjon.

Linjene m og n på figuren er parallelle. Bestem vinklene u, v, w og α.

Løsning vinkel u

Vinkel u er samsvarende med vinkel β siden de har felles venstre vinkelbein (linja l). Høyre vinkelbein til de to vinklene er parallelle linjer. Vi har dermed at $u = β = 50 °$ .

Løsning vinkel v

Vinkel v er supplementvinkel til vinkel u. Da får vi at

$v = 180 ° - u = 180 ° - 50 ° = 130 °$

Løsning vinkel w

Vinkel w er toppvinkel med vinkel u. Da får vi at

$w = u = 50 °$

Løsning vinkel α

Vinkel α er supplementvinkel til vinkel β. Da får vi at

$α = 180 ° - β = 180 ° - 50 ° = 130 °$

Alternativt kan vi bruke at toppvinkelen til α (som er lik α) og vinkel v er samsvarende vinkler, og at de er like fordi de har linje l som høyre vinkelbein og to parallelle linjer som venstre vinkelbein. Da får vi at

$α = v = 130 °$

Oppgave 10

To linjer skjærer hverandre. De fire vinklene som dannes, er u, v, w og z. Figuren viser at u og v er spisse vinkler, mens w og z er stumpe vinkler. Illustrasjon.

Vis at $w = z$ uten å bruke at de er toppvinkler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} v + w & = & 180 ° \\ w & = & 180 ° - v \\ z + v & = & 180 ° \\ z & = & 180 ° - v \\ w & = & z \end{array}$

Dette er beviset på at toppvinkler er like.

Oppgave 11

Forklar hvorfor $∠ u = ∠ v$ på figuren nedenfor.

To stråler møtes og danner vinkelen u. Den ene strålen står vinkelrett på ei linje, den andre strålen står vinkelrett på ei annen linje. De to linjene møtes og danner vinkelen v. Illustrasjon.

Løsning

Her blir det lettest å forklare hvis vi setter navn på noen punkter:

Linjestykkene A D og B E skjærer hverandre i punktet C. Punktene er slik at A D står normalt på D E og B E står normalt på A B. Vinkel B A C er kalt u på figuren, og vinkel C E D er kalt v. De fem punktene danner to rettvinklede trekanter A B C og C D E med felles toppunkt C, som ikke er den rette vinkelen. Punktet F er skjæringspunktet mellom forlengelsen av linjestykket A B og forlengelsen av linjestykket E D. Illustrasjon.

Denne oppgaven kan løses på flere måter:

Vi ser på trekantene ABC og CDE. Begge disse trekantene har en rett vinkel. I tillegg ser vi at vinklene ACB og DCE er toppvinkler og dermed like. Vinkelsummen i en trekant er $180 °$ . Vi har derfor at vinklene u og v, som er den tredje vinkelen i hver av trekantene, må være like.
Vi ser på trekantene ADF og BEF. Begge disse trekantene har en rett vinkel. I tillegg deler de vinkel F. På samme måte som i løsning nummer 1 får vi at $∠ u = ∠ v$ .
Vinkelbeinet AB til u står vinkelrett på vinkelbeinet CE til v. Det andre vinkelbeinet til u, AC, står vinkelrett på det andre vinkelbeinet til v, DE. Etter setningen om vinkelbein som parvis står vinkelrett på hverandre, må $∠ u = ∠ v$ .

Oppgave 12

Hva kan du om grunnleggende begreper og sammenhenger i geometrien?

Geometri