Implikasjon og ekvivalens

Implikasjon

Hvis Kaja bor i Bergen, bor Kaja i Norge. Vi har da det vi kaller en implikasjon. At Kaja bor i Bergen medfører, eller impliserer, at Kaja bor i Norge. Vi har et eget tegn for "medfører at". Dette tegnet er "$\Rightarrow$" og kalles en implikasjonspil.
Vi skriver

Kaja bor i Bergen $\Rightarrow$ Kaja bor i Norge

Vi har da fått en kortfattet skrivemåte som forteller at hvis det er sant at Kaja bor i Bergen, da er det også sant at Kaja bor i Norge. Merk at en implikasjon ikke automatisk betyr at sammenhengen gjelder motsatt veg. Gjør den det her?

Ekvivalens

Vi ser på de to matematiske utsagnene:

$\begin{array}{rcl}p: 2x+4 & =& 8\\ q: x & =& \hspace{0.17em}2\end{array}$

Vi kan si at dersom $p$ er sann, må også $q$ være sann. Vi kan også si at $p$ medfører, eller impliserer, $q$. Dette skriver vi med matematiske symboler slik:

$p\Rightarrow q$

Dette utsagnet leser vi som "$p$ medfører $q$", eller som "$2x+4=8$medfører at $x=2$".

Implikasjonspila kan gå enten fra venstre mot høyre eller fra høyre mot venstre. Det vil si at vi like gjerne kunne ha skrevet $q\Leftarrow p$. Vi vil likevel lese dette som at "$p$ medfører $q$". For leservennlighetens skyld er det vanlig å skrive i den rekkefølgen vi leser, med mindre det er gode grunner til å gjøre noe annet. Pilene kan for øvrig også skrives oppover eller nedover.

Er det sånn at $q\Rightarrow p$ også?

I en slik situasjon der vi kan si at implikasjonen går begge veier, har vi det vi kaller for en ekvivalens. Vi har et eget symbol for dette, ei ekvivalenspil, som er en kombinasjon av de to implikasjonspilene. Vi kan skrive

$p\iff q$

Dette leses som "$p$ er ekvivalent med $q$" og betyr at ingen av utsagnene kan være sanne uten at det andre også er sant.

Vi ser på to nye utsagn:

$\begin{array}{rcl}p: (x-2{)}^2 & =& 16\\ q: x & =& 6\end{array}$

Hva med Kaja?

Vi ser på utsagnene

$p$: Kaja bor i Bergen

$q$: Kaja bor i Norge

Vi vet at "Kaja bor i Bergen" medfører at "Kaja bor i Norge", eller $p\Rightarrow q$. Men "Kaja bor i Norge" medfører ikke alltid at "Kaja bor i Bergen". Det er altså ikke ekvivalens mellom de to utsagnene $p$ og $q$.