Implikasjon og ekvivalens

Implikasjon

Dersom Kaja bur i Bergen, bur Kaja i Noreg. Vi har då det vi kallar ein implikasjon. At Kaja bur i Bergen medfører, eller impliserer, at Kaja bur i Noreg. Vi har eit eige teikn for "medfører at". Dette teiknet er "$\Rightarrow$" og blir kalla ei implikasjonspil.
Vi skriv

Kaja bur i Bergen $\Rightarrow$ Kaja bur i Noreg

Vi har då fått ein kortfatta skrivemåte som fortel at dersom det er sant at Kaja bur i Bergen, då er det også sant at Kaja bur i Noreg. Merk at ein implikasjon ikkje automatisk tyder at samanhengen gjeld den andre vegen. Gjer den det her?

Ekvivalens

Vi ser på dei to matematiske utsegnene:

$\begin{array}{rcl}p: 2x+4 & =& 8\\ q: x & =& \hspace{0.17em}2\end{array}$

Vi kan seie at dersom $p$ er sann, må òg $q$ vere sann. Vi kan òg seie at $p$ medfører, eller impliserer, $q$. Dette skriv vi med matematiske symbol slik:

$p\Rightarrow q$

Denne utsegna les vi som "$p$ medfører $q$", eller som "$2x+4=8$medfører at $x=2$".

Symbolet "$\Rightarrow$" kallar vi ei implikasjonspil. Denne kan gå anten frå venstre mot høgre eller frå høgre mot venstre. Det vil seie at vi like gjerne kunne ha skrive $q\Leftarrow p$. Vi vil likevel lese dette som at "$p$ medfører $q$". På grunn av lesarvennlegheita er det vanleg å skrive i den rekkefølga vi les, med mindre det er gode grunnar til å gjere noko anna. Pilene kan elles òg skrivast oppover eller nedover.

Er det sånn at $q\Rightarrow p$ også?

I ein slik situasjon der vi kan seie at implikasjonen går begge vegar, har vi det vi kallar for ein ekvivalens. Vi har eit eige symbol for dette, ei ekvivalenspil, som er ein kombinasjon av dei to implikasjonspilene. Vi kan skrive

$p\iff q$

Dette blir lese som "$p$ er ekvivalent med $q$" og betyr at inga av utsegnene kan vere sanne utan at det andre òg er sant.

Vi ser på to nye utsegner:

$\begin{array}{rcl}p: (x-2{)}^2 & =& 16\\ q: x & =& 6\end{array}$

Kva med Kaja?

Vi ser på utsegnene

$p$: Kaja bur i Bergen

$q$: Kaja bur i Noreg

Vi veit at "Kaja bur i Bergen" medfører at "Kaja bur i Noreg", eller $p\Rightarrow q$. Men "Kaja bur i Noreg" medfører ikkje alltid at "Kaja bur i Bergen". Det er altså ikkje ekvivalens mellom dei to utsegnene $p$ og $q$.